Encontre a temperatura w(x, t) numa barra semi-infinita, lateralmente isolada e que se estende ao infinito ao longo do eixo x, supondo que a temperatura inicial seja 0, w(x, t) \rightarrow 0 quando x \rightarrow \infty para todo valor fixo de t \geq 0, e que w(0, t)=f(t). Proceda como se segue.
Elabore o modelo e mostre que a transformada de Laplace leva a
s W=c^{2} \frac{\partial^{2} W}{\partial x^{2}} \quad(W=\mathscr{L}\{w\})

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a temperatura w(x,t) numa barra semi-infinita ( x\ge 0), lateralmente isolada, com as seguintes informações/condições dadas:
  • Condição inicial: \;w(x,0)=0\; para todo x\ge 0.
  • Condição de contorno em x=0: \;w(0,t)=f(t)\; (função conhecida de t).
  • Condição no infinito: \;w(x,t)\rightarrow 0 quando x\rightarrow\infty, para todo t\ge0.
  • A barra é lateralmente isolada (ou seja, não há troca de calor transversal) e estende-se ao infinito em x.
    O enunciado pede explicitamente que elaboremos o modelo e que mostremos que a transformada de Laplace em t leva à igualdade
s W = c^{2}\frac{\partial^{2}W}{\partial x^{2}},
onde W(x,s)=\mathscr{L}\{w(x,t)\}. Aqui estou só listando o que é pedido e os dados; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Modelagem física (derivação da equação do calor para a barra):
  • Considere um pequeno segmento da barra entre x e x+\Delta x. A energia interna desse segmento depende da temperatura média nele.
  • Seja \rho a densidade (massa por volume), C o calor específico (por massa) e A a área da secção transversal (constante). A energia interna por unidade comprimento é \rho C A\, w(x,t).
  • Fluxo de calor em 1D (Lei de Fourier): o fluxo térmico (potência por área) na direção x é proporcional ao gradiente de temperatura e dado por
\text{fluxo}\;q(x,t) = -\kappa \frac{\partial w}{\partial x}(x,t),
onde \kappa é a condutividade térmica. O sinal negativo indica que o calor flui da região mais quente para a mais fria.
  • Balanço de energia no segmento: energia que entra pelo lado x menos a que sai pelo lado x+\Delta x é igual à variação temporal da energia interna do segmento. Em símbolos:
A q(x,t) - A q(x+\Delta x,t) = \rho C A\, \Delta x \; \frac{\partial w}{\partial t}\bigg|_{\text{média}}.é
  • Dividindo por A\Delta x e passando ao limite \Delta x\to 0 obtém-se
-\frac{\partial q}{\partial x}(x,t) = \rho C \frac{\partial w}{\partial t}(x,t).
  • Substituindo q(x,t) = -\kappa w_x (onde uso a notação w_x=\partial w/\partial x) resulta
-\frac{\partial}{\partial x}\big(-\kappa w_x\big) = \rho C\, w_t \quad\Longrightarrow\quad \kappa\, w_{xx} = \rho C\, w_t.
  • Defina a difusividade térmica \alpha=\dfrac{\kappa}{\rho C}. Então a equação fica
w_t = \alpha \, w_{xx}.
  • No enunciado a constante é dada como c^{2}; portanto identificamos \alpha = c^{2} e obtemos a equação do calor no domínio semi-infinito:
\boxed{\,w_t = c^{2}\, w_{xx}\,.}
(Explicação rápida: w_t é a derivada parcial temporal da temperatura; w_{xx} é a segunda derivada espacial. A equação relaciona o ritmo de mudança temporal da temperatura à curvatura espacial da temperatura.)

Passo 3

Escrevemos o problema de valor inicial e contorno completo (resumindo condições dadas):
\begin{cases} w_t(x,t) = c^{2}\, w_{xx}(x,t), & x>0,\; t>0,\\[4pt] w(x,0)=0, & x\ge 0,\\[4pt] w(0,t)=f(t), & t\ge 0,\\[4pt] \displaystyle \lim_{x\to\infty} w(x,t)=0, & t\ge 0. \end{cases}
A próxima etapa é aplicar a transformada de Laplace em t à equação diferencial parcial.]

Passo 4

Definição e propriedades da transformada de Laplace em t (aqui ensino passo a passo):
  • Definição: para cada x\ge 0 fixo, a transformada de Laplace de w(x,t) em relação a t é
\mathscr{L}\{w(x,t)\}(s) = W(x,s) \;=\; \int_{0}^{\infty} e^{-st}\, w(x,t)\, dt,
definida para valores de s onde a integral converge.
  • Propriedade crucial para derivadas temporais: se w é suficientemente regular, então
\mathscr{L}\{w_t(x,t)\} = s\,W(x,s) - w(x,0).
Demonstração curta (integração por partes): use \int_{0}^{\infty} e^{-st} w_t\,dt. Tomando u=e^{-st} e dv=w_t dt
\int_{0}^{\infty} e^{-st} w_t\,dt = \big[e^{-st} w\big]_0^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} e^{-st} w\,dt.
Sob condições usuais (temperatura não cresce mais rápido que exponencial), \lim_{t\to\infty} e^{-st}w(x,t)=0, então o termo de fronteira em infinito some e sobra -w(x,0)+sW(x,s), ou seja sW-w(x,0).
  • Propriedade para derivadas espaciais: a transformada integra em t, tratando x como parâmetro; portanto
\mathscr{L}\{w_{xx}(x,t)\} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \mathscr{L}\{w(x,t)\} = W_{xx}(x,s),
isto é, a transformada comuta com diferenciação em x (novamente sob hipóteses de regularidade e troca de ordem integração-diferenciação).

Passo 5

Aplicação da transformada de Laplace à equação do calor:
  • Partimos de \;w_t = c^{2}\, w_{xx}.
  • Tomando \mathscr{L}\{\cdot\} em ambos os lados (transformada em t, mantendo x como parâmetro) e usando as propriedades do passo anterior,
\mathscr{L}\{w_t\} = c^{2}\,\mathscr{L}\{w_{xx}\}
\Longrightarrow\quad s\,W(x,s) - w(x,0) = c^{2}\, W_{xx}(x,s).
  • Usando a condição inicial dada no enunciado \;w(x,0)=0\; (isso simplifica bastante), obtemos
s\,W(x,s) = c^{2}\, W_{xx}(x,s).
  • Assim chegamos exatamente à forma indicada no enunciado:
\boxed{\,s W = c^{2}\frac{\partial^{2}W}{\partial x^{2}}\,.} Isso é uma equação ordinária em \(x\) (parametrizada por \(s\)), que pode ser resolvida com as condições transformadas.

Passo 6

Condições transformadas (comentar rapidamente para fechamento didático):
  • A condição de contorno em x=0 transforma-se em
W(0,s) = \mathscr{L}\{w(0,t)\}(s) = \mathscr{L}\{f(t)\}(s) \equiv F(s).
  • A condição no infinito permanece \displaystyle \lim_{x\to\infty} W(x,s)=0.
  • Assim, o problema transformado é a ODE em x
c^{2} W_{xx} - s W = 0,\quad W(0,s)=F(s),\quad W(x,s)\to0\\ \text{quando }x\to\infty.
(Se quiser resolver a ODE: a solução decrescente é W(x,s)=F(s)\,e^{-(\sqrt{s}/c)\,x}, tomando a raiz quadrada apropriada de s, mas o enunciado pedia apenas demonstrar a forma após a transformada.)

Resposta

s W=c^{2} \frac{\partial^{2} W}{\partial x^{2}}

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