Uma barra lateralmente isolada de comprimento 10 cm , área de seção transversal de 1 \mathrm{~cm}^{2}, densidade 10,6 \mathrm{gm} / \mathrm{cm}^{3}, condutividade térmica 1,04 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{cm} \mathrm{s}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e calor específico de 0,056 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{gm}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) (esses dados correspondem à prata, um bom condutor de calor) tem uma temperatura inicial f(x) e é mantida a 0^{\circ} \mathrm{C} nas extremidades x=0 e x=10. Encontre a temperatura u(x, t) em instantes posteriores. Aqui, f(x) é igual a: f(x)=\operatorname{sen} 0,1 \pi x+\frac{1}{2} \operatorname{sen} 0,2 \pi x
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar bem certinho para a gente não se perder):
Comprimento da barra: \,10\\ \text{cm}.
Área da seção transversal: \,1\\ \text{cm}^2 (não vai entrar diretamente na solução 1D).
Condição de contorno: a barra é mantida a 0^\circ\text{C} nas extremidades, ou sejau(0,t)=0,\qquad u(10,t)=0\quad\text{para todo }t>0.
Condição inicial: a temperatura inicial ao longo da barra éf(x)=\operatorname{sen} 0,1\pi x+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen} 0,2\pi x.
O que se pede: encontrar u(x,t), a temperatura para 0<x<10 e t>0.
Observação útil já aqui: \operatorname{sen} 0,1\pi x=\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{\pi}{10}x\big) e \operatorname{sen} 0,2\pi x=\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{2\pi}{10}x\big). Esses são modos senoidais compatíveis com as condições de contorno nulas nas extremidades.
Passo 2
Escrevendo a equação do calor e encontrando o coeficiente de difusividade térmica.
A equação unidimensional do calor (para uma barra homogênea, lateralmente isolada) é
u_t=\alpha\,u_{xx},
onde \alpha é a difusividade térmica do material, que mede a rapidez com que o calor se espalha.
A difusividade é dada por
\alpha=\frac{k}{\rho\,c},
em que k é a condutividade térmica, \rho a densidade e c o calor específico. Aqui cada símbolo significa: \;k em \text{cal}/(\text{cm}\cdot\text{s}\cdot{}^\circ\text{C}), \rho em \text{gm}/\text{cm}^3, \;c em \text{cal}/(\text{gm}\cdot{}^\circ\text{C}). O resultado fica em \text{cm}^2/\text{s}.
Pelo princípio da ortogonalidade, os coeficientes correspondentes são exatamente os fatores das senóides:
Para n=1: b_1=1.
Para n=2: b_2=\tfrac{1}{2}.
Para n\ge 3: b_n=0.
(Se quiser ver por integral: b_n=\frac{2}{10}\int_0^{10} f(x)\sin(\frac{n\pi}{10}x)\,dx. Os termos cruzados desaparecem pela ortogonalidade e cada termo idem dá 2/10\cdot(10/2) vezes o coeficiente = coeficiente.)
Passo 6
Escrevendo a solução final explícita e a forma com valores numéricos aproximados para as taxas de decaimento.
Interpretação rápida: cada modo decai exponencialmente com taxa proporcional a n^2; o modo n=2 decai quatro vezes mais rápido que n=1, então, conforme t cresce, o termo de ordem 2 some mais rápido e sobra o modo n=1 até também desaparecer a longo prazo (a barra tende a 0^\circ\text{C}).