Uma barra lateralmente isolada de comprimento 10 cm , área de seção transversal de 1 \mathrm{~cm}^{2}, densidade 10,6 \mathrm{gm} / \mathrm{cm}^{3}, condutividade térmica 1,04 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{cm} \mathrm{s}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e calor específico de 0,056 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{gm}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) (esses dados correspondem à prata, um bom condutor de calor) tem uma temperatura inicial f(x) e é mantida a 0^{\circ} \mathrm{C} nas extremidades x=0 e x=10. Encontre a temperatura u(x, t) em instantes posteriores. Aqui, f(x) é igual a:
f(x)=\operatorname{sen} 0,1 \pi x+\frac{1}{2} \operatorname{sen} 0,2 \pi x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar bem certinho para a gente não se perder):
  • Comprimento da barra: \,10\\ \text{cm}.
  • Área da seção transversal: \,1\\ \text{cm}^2 (não vai entrar diretamente na solução 1D).
  • Densidade: \rho=10,6\\ \text{gm/cm}^3.
  • Condutividade térmica: k=1,04\\ \text{cal}/(\text{cm}\cdot\text{s}\cdot{}^\circ\text{C}).
  • Calor específico: c=0,056\\ \text{cal}/(\text{gm}\cdot{}^\circ\text{C}).
  • Condição de contorno: a barra é mantida a 0^\circ\text{C} nas extremidades, ou seja u(0,t)=0,\qquad u(10,t)=0\quad\text{para todo }t>0.
  • Condição inicial: a temperatura inicial ao longo da barra é f(x)=\operatorname{sen} 0,1\pi x+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen} 0,2\pi x.
  • O que se pede: encontrar u(x,t), a temperatura para 0<x<10 e t>0.
Observação útil já aqui: \operatorname{sen} 0,1\pi x=\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{\pi}{10}x\big) e \operatorname{sen} 0,2\pi x=\operatorname{sen}\!\big(\tfrac{2\pi}{10}x\big). Esses são modos senoidais compatíveis com as condições de contorno nulas nas extremidades.

Passo 2

Escrevendo a equação do calor e encontrando o coeficiente de difusividade térmica.
  • A equação unidimensional do calor (para uma barra homogênea, lateralmente isolada) é
    u_t=\alpha\,u_{xx},
    onde \alpha é a difusividade térmica do material, que mede a rapidez com que o calor se espalha.
  • A difusividade é dada por
    \alpha=\frac{k}{\rho\,c},
    em que k é a condutividade térmica, \rho a densidade e c o calor específico. Aqui cada símbolo significa:
    \;k em \text{cal}/(\text{cm}\cdot\text{s}\cdot{}^\circ\text{C}),
    \rho em \text{gm}/\text{cm}^3,
    \;c em \text{cal}/(\text{gm}\cdot{}^\circ\text{C}). O resultado fica em \text{cm}^2/\text{s}.
  • Calculando numericamente:
    \rho c = 10,6\times 0,056=0,5936,
\alpha=\frac{1,04}{0,5936}\approx 1,75\\ \text{cm}^2/\text{s}.

Passo 3

Método: separação de variáveis (a ideia e as equações auxiliares, explicadas passo a passo).
  • Procuramos soluções do tipo \,u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo em u_t=\alpha u_{xx}
    X(x)T'(t)=\alpha X''(x)T(t).
    Dividindo por \alpha X T obtemos
    \frac{T'(t)}{\alpha T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
    onde -\lambda é uma constante de separação (o sinal menos é conveniente para obter funções seno/cosseno).
  • Assim obtemos dois problemas ordinários:
    X''+\lambda X=0,\qquad T'+\alpha\lambda T=0.
  • As condições de contorno u(0,t)=u(10,t)=0 implicam X(0)=X(10)=0. Para existir solução não trivial, \lambda deve ser positivo e toma os valores
    \lambda_n=\Big(\frac{n\pi}{L}\Big)^2,\qquad n=1,2,3,\dots
    com L=10. Para cada n a função espacial é
    X_n(x)=\operatorname{sen}\!\Big(\frac{n\pi}{10}x\Big),
    e a parte temporal resolve
    T_n(t)=\exp\!\big(-\alpha\lambda_n t\big)=\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{n\pi}{10}\Big)^2t\Big).
  • Resumo: os modos próprios são
    u_n(x,t)=\operatorname{sen}\!\Big(\frac{n\pi}{10}x\Big)\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{n\pi}{10}\Big)^2t\Big).

Passo 4

Série de Fourier-seno e como obter os coeficientes (explicando a ortogonalidade e o cálculo).
  • A solução geral por superposição é
    u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \operatorname{sen}\!\Big(\frac{n\pi}{10}x\Big)\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{n\pi}{10}\Big)^2t\Big),
    onde os coeficientes b_n são dados pela série de Fourier-seno de f(x):
    b_n=\frac{2}{L}\int_0^{L} f(x)\operatorname{sen}\!\Big(\frac{n\pi}{L}x\Big)\,dx,\qquad L=10.
  • Propriedade útil (ortogonalidade das senos):
    \int_0^{L}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{m\pi}{L}x\Big)\operatorname{sen}\!\Big(\frac{n\pi}{L}x\Big)\,dx= \begin{cases} 0,& m\ne n,\\[4pt] \dfrac{L}{2},& m=n. \end{cases}]

Passo 5

Aplicando a condição inicial específica e encontrando os coeficientes b_n.
  • Nosso f(x) já é uma combinação de senos compatíveis com os autovetores:
    f(x)=\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\pi}{10}x\Big)+\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{2\pi}{10}x\Big).
  • Pelo princípio da ortogonalidade, os coeficientes correspondentes são exatamente os fatores das senóides:
    • Para n=1: b_1=1.
    • Para n=2: b_2=\tfrac{1}{2}.
    • Para n\ge 3: b_n=0.
    (Se quiser ver por integral: b_n=\frac{2}{10}\int_0^{10} f(x)\sin(\frac{n\pi}{10}x)\,dx. Os termos cruzados desaparecem pela ortogonalidade e cada termo idem dá 2/10\cdot(10/2) vezes o coeficiente = coeficiente.)

Passo 6

Escrevendo a solução final explícita e a forma com valores numéricos aproximados para as taxas de decaimento.
  • Substituindo os b_n obtidos, a solução é
    u(x,t)=\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\pi}{10}x\Big)\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{\pi}{10}\Big)^2t\Big) +\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{2\pi}{10}x\Big)\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{2\pi}{10}\Big)^2t\Big).
  • Usando \alpha\approx 1,75\\ \text{cm}^2/\text{s} (valor calculado no Passo 2), podemos escrever as constantes de decaimento:
    \alpha\Big(\frac{\pi}{10}\Big)^2\approx 0,173\quad\text{e}\quad \alpha\Big(\frac{2\pi}{10}\Big)^2\approx 0,692.
    Assim, numericamente,
    u(x,t)\approx \operatorname{sen}\!\Big(\frac{\pi}{10}x\Big)e^{-0,173\,t} +\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{2\pi}{10}x\Big)e^{-0,692\,t}.
  • Interpretação rápida: cada modo decai exponencialmente com taxa proporcional a n^2; o modo n=2 decai quatro vezes mais rápido que n=1, então, conforme t cresce, o termo de ordem 2 some mais rápido e sobra o modo n=1 até também desaparecer a longo prazo (a barra tende a 0^\circ\text{C}).

Resposta

u(x,t)=\operatorname{sen}\!\Big(\frac{\pi}{10}x\Big)\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{\pi}{10}\Big)^2t\Big) +\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{2\pi}{10}x\Big)\exp\!\Big(-\alpha\Big(\frac{2\pi}{10}\Big)^2t\Big),
\text{com }\alpha=\frac{k}{\rho c}\approx 1,75\\ \text{cm}^2/\text{s},
\text{ou numericamente } \; u(x,t)\approx \operatorname{sen}\!\Big(\frac{\pi}{10}x\Big)e^{-0,173\,t} +\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}\!\Big(\frac{2\pi}{10}x\Big)e^{-0,692\,t}.

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