Encontre todas as soluções
da equação de Laplace de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação de Laplace em duas variáveis, dado que a solução tem a forma
. As informações que temos são:
O objetivo é determinar todas as funções
e
(com constantes livres) tais que
satisfaça a equação de Laplace.
Passo 2
Substituo
na equação de Laplace e calculo as derivadas parciais:
Então a equação fica
Divido por
(assumindo
e
não identicamente nulas) e obtenho
Aqui a primeira fração depende só de
e a segunda só de
. Para que a soma seja nula para todo
, cada parcela tem de ser igual a uma constante com sinais opostos. Introduzo uma constante de separação
de modo conveniente escolhendo
Passo 3
As equações ODE que surgem são, portanto
e
onde
é uma constante real arbitrária. Agora resolvemos essas ODEs para os três casos possíveis de
: positivo, zero e negativo. Vou tratar cada caso separadamente — é a parte padrão da separação de variáveis.
Passo 4
Caso
. Escrevo
com
.
A equação para é
A equação para
A equação característica é
com raízes
, logo a solução geral é trigonométrica:
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
A equação para é
A equação para
A equação característica é
com raízes
, logo a solução geral é exponencial:
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Portanto, para obtemos as soluções em produto
Portanto, para
Passo 5
Caso
.
As ODEs ficam
As ODEs ficam
Integro duas vezes cada uma e obtenho soluções lineares:
com
constantes reais arbitrárias. Assim, para
,
Passo 6
Caso
. Escrevo
com
.
A equação para é
A equação para
cuja solução geral é exponencial:
A equação para
é
cuja solução geral é trigonométrica:
Portanto, para
obtemos
Passo 7
Observações finais importantes e dicas para a prova:
- As constantes
são arbitrárias reais; um fator multiplicativo comum pode ser absorvido entre e (por exemplo, multiplicar por e por dá a mesma ). - A equação de Laplace é linear, então somas lineares de soluções também são soluções. No entanto, o enunciado pediu soluções estritamente do tipo produto
; as somas de termos separados geram soluções mais gerais (por exemplo séries de separação), mas não são soluções “apenas” de um único produto. - O caso trivial
está incluído escolhendo todas as constantes nulas. - Na prova, proceda sempre como aqui: substituir, dividir por
, declarar a constante de separação e resolver as ODEs de segundo ordem, tratando os três sinais de .