Encontre todas as soluções u(x, y)=F(x) G(x) da equação de Laplace de duas variáveis.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação de Laplace em duas variáveis, dado que a solução tem a forma u(x,y)=F(x)G(y). As informações que temos são:
\text{equação de Laplace: }\; u_{xx}+u_{yy}=0,çã
\text{forma presumida da solução: }\; u(x,y)=F(x)G(y).çã
O objetivo é determinar todas as funções F e G (com constantes livres) tais que u(x,y)=F(x)G(y) satisfaça a equação de Laplace.

Passo 2

Substituo u(x,y)=F(x)G(y) na equação de Laplace e calculo as derivadas parciais:
u_{xx}=F''(x)G(y),
u_{yy}=F(x)G''(y).
Então a equação fica
F''(x)G(y)+F(x)G''(y)=0.
Divido por F(x)G(y) (assumindo F e G não identicamente nulas) e obtenho
\frac{F''(x)}{F(x)}+\frac{G''(y)}{G(y)}=0.
Aqui a primeira fração depende só de x e a segunda só de y. Para que a soma seja nula para todo x,y, cada parcela tem de ser igual a uma constante com sinais opostos. Introduzo uma constante de separação \lambda de modo conveniente escolhendo
\frac{F''(x)}{F(x)}=-\lambda,\qquad \frac{G''(y)}{G(y)}=\lambda.

Passo 3

As equações ODE que surgem são, portanto
F''(x)+\lambda F(x)=0
e
G''(y)-\lambda G(y)=0,
onde \lambda é uma constante real arbitrária. Agora resolvemos essas ODEs para os três casos possíveis de \lambda: positivo, zero e negativo. Vou tratar cada caso separadamente — é a parte padrão da separação de variáveis.

Passo 4

Caso \lambda>0. Escrevo \lambda=k^{2} com k>0.
A equação para F é
F''+k^{2}F=0.
A equação característica é r^{2}+k^{2}=0 com raízes r=\pm i k, logo a solução geral é trigonométrica:
F(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx),
onde A e B são constantes reais arbitrárias.
A equação para G é
G''-k^{2}G=0.
A equação característica é r^{2}-k^{2}=0 com raízes r=\pm k, logo a solução geral é exponencial:
G(y)=C e^{k y}+D e^{-k y},
onde C e D são constantes reais arbitrárias.
Portanto, para \lambda=k^{2}>0 obtemos as soluções em produto
u(x,y)=\bigl(A\cos(kx)+B\sin(kx)\bigr)\bigl(C e^{k y}+D e^{-k y}\bigr).

Passo 5

Caso \lambda=0.
As ODEs ficam
F''(x)=0,\qquad G''(y)=0.
Integro duas vezes cada uma e obtenho soluções lineares:
F(x)=a x+b,\qquad G(y)=c y+d,
com a,b,c,d constantes reais arbitrárias. Assim, para \lambda=0,
u(x,y)=(a x+b)(c y+d).

Passo 6

Caso \lambda<0. Escrevo \lambda=-k^{2} com k>0.
A equação para F é
F''-k^{2}F=0,
cuja solução geral é exponencial:
F(x)=A e^{k x}+B e^{-k x}.
A equação para G é
G''+k^{2}G=0,
cuja solução geral é trigonométrica:
G(y)=C\cos(k y)+D\sin(k y).
Portanto, para \lambda=-k^{2}<0 obtemos
u(x,y)=\bigl(A e^{k x}+B e^{-k x}\bigr)\bigl(C\cos(k y)+D\sin(k y)\bigr).

Passo 7

Observações finais importantes e dicas para a prova:
  • As constantes A,B,C,D,\dots são arbitrárias reais; um fator multiplicativo comum pode ser absorvido entre F e G (por exemplo, multiplicar F por \alpha e G por 1/\alpha dá a mesma u).
  • A equação de Laplace é linear, então somas lineares de soluções também são soluções. No entanto, o enunciado pediu soluções estritamente do tipo produto F(x)G(y); as somas de termos separados geram soluções mais gerais (por exemplo séries de separação), mas não são soluções “apenas” de um único produto.
  • O caso trivial u\equiv 0 está incluído escolhendo todas as constantes nulas.
  • Na prova, proceda sempre como aqui: substituir, dividir por FG, declarar a constante de separação e resolver as ODEs de segundo ordem, tratando os três sinais de \lambda.

Resposta

u(x,y)=\bigl(A\cos(kx)+B\sin(kx)\bigr)\bigl(C e^{k y}+D e^{-k y}\bigr),\quad k>0
u(x,y)=(a x+b)(c y+d)
u(x,y)=\bigl(A e^{k x}+B e^{-k x}\bigr)\bigl(C\cos(k y)+D\sin(k y)\bigr),\quad k>0

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