Uma barra lateralmente isolada de comprimento 10 cm , área de seção transversal de
, densidade
, condutividade térmica
e calor específico de
(esses dados correspondem à prata, um bom condutor de calor) tem uma temperatura inicial
e é mantida a
nas extremidades
e
. Encontre a temperatura
em instantes posteriores. Aqui,
é igual a:
se
e 0 nos demais casos
Passo 1
O problema pede: encontrar a temperatura
e a barra é lateralmente isolada (ou seja, não há troca de calor lateral). Dados físicos fornecidos (todos em unidades compatíveis com o sistema CGS):
O que eu tenho que devolver: uma expressão para
, que satisfaça as condições iniciais e de contorno acima.]
Passo 2
Modelo matemático e coeficiente de difusão térmica. Para uma barra lateralmente isolada e com temperaturas fixas nas extremidades, o problema que descreve a evolução da temperatura é a equação do calor unidimensional:
com condições de contorno de Dirichlet
e condição inicial
Aqui
é a difusividade térmica dada por
onde
é a condutividade térmica,
a densidade e
o calor específico. Vamos calcular
com os dados:
(Guarde
se preferir a forma exata.)
Passo 3
Escolha do método e forma geral da solução. Como as condições de contorno são
com
, é natural expandir a condição inicial em série de senos (série de Fourier seno), pois as funções
satisfazem as mesmas condições de contorno e formam um conjunto ortogonal em
.
A solução por separação de variáveis leva à forma
onde os coeficientes
são os coeficientes da série de Fourier seno da condição inicial
:
Explicando a razão: a ortogonalidade diz que para
e para
daí a fórmula do coeficiente
.
Passo 4
Cálculo explícito dos coeficientes
. Aqui
e
é zero em
, então o integral reduz para
até
:
Simplificando o fator externo:
portanto
onde definimos
para abreviar. Agora calcule o integral usando integração por partes. Sabendo que
temos o integral definido
Logo
Passo 5
Simplificação dos coeficientes usando
. Observe que
. Substituindo
e
, temos
Calculando os fatores numéricos:
portanto obtemos a forma simples
Passo 6
Forma alternativa (mais explícita) de
separando
par e ímpar, útil para cálculos rápidos na prova. Note os valores:
- Para
(par): e . Assim
- Para
(ímpar): e . Assim
Exemplos rápidos para conferir:
, que coincidem com a fórmula geral.
Passo 7
Escrevendo a solução final juntando tudo. Substitua
e os
no somatório da Passo 3; lembre que o fator exponencial envolve
calculado no Passo 2. A solução é
com
Essa série satisfaz as condições de contorno e, ao tomar
, converge (em sentido apropriado) para
.