Uma barra lateralmente isolada de comprimento 10 cm , área de seção transversal de 1 \mathrm{~cm}^{2}, densidade 10,6 \mathrm{gm} / \mathrm{cm}^{3}, condutividade térmica 1,04 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{cm} \mathrm{s}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e calor específico de 0,056 \mathrm{cal} /\left(\mathrm{gm}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) (esses dados correspondem à prata, um bom condutor de calor) tem uma temperatura inicial f(x) e é mantida a 0^{\circ} \mathrm{C} nas extremidades x=0 e x=10. Encontre a temperatura u(x, t) em instantes posteriores. Aqui, f(x) é igual a:
f(x)=0,2 x se 0<x<5 e 0 nos demais casos

Passo 1

O problema pede: encontrar a temperatura u(x,t)\) para \(t>0\) numa barra de comprimento \(10\\ \mathrm{cm}\) com extremidades mantidas a \(0^\circ\mathrm{C}\) em \(x=0\) e \(x=10\), dada a temperatura inicial \(f(x)\) abaixo: \[f(x)=\begin{cases} 0{,}2x, & 0<x<5,\\[4pt] 0, & 5\le x\le 10, \end{cases}
e a barra é lateralmente isolada (ou seja, não há troca de calor lateral). Dados físicos fornecidos (todos em unidades compatíveis com o sistema CGS):
\text{comprimento }L=10\\ \mathrm{cm},\quad A=1\\ \mathrm{cm}^2,
\rho=10{,}6\\ \mathrm{gm/cm^3},\quad c=0{,}056\\ \mathrm{cal/(gm\\ ^\circ C)},\quad k=1{,}04\\ \mathrm{cal/(cm\\ s\\ ^\circ C)}.
O que eu tenho que devolver: uma expressão para u(x,t)\] válida para \(0\le x\le10,\\ t\ge0, que satisfaça as condições iniciais e de contorno acima.]

Passo 2

Modelo matemático e coeficiente de difusão térmica. Para uma barra lateralmente isolada e com temperaturas fixas nas extremidades, o problema que descreve a evolução da temperatura é a equação do calor unidimensional:
u_t=\alpha\,u_{xx},
com condições de contorno de Dirichlet
u(0,t)=0,\qquad u(10,t)=0,
e condição inicial
u(x,0)=f(x).
Aqui \alpha é a difusividade térmica dada por
\alpha=\frac{k}{\rho c},
onde k é a condutividade térmica, \rho a densidade e c o calor específico. Vamos calcular \alpha com os dados:
\rho c = 10{,}6\times 0{,}056=0{,}5936,
\alpha=\frac{1{,}04}{0{,}5936}\approx 1{,}752\\ \mathrm{cm^2/s}.
(Guarde \alpha=\dfrac{1{,}04}{10{,}6\cdot 0{,}056} se preferir a forma exata.)

Passo 3

Escolha do método e forma geral da solução. Como as condições de contorno são u(0,t)=u(L,t)=0 com L=10, é natural expandir a condição inicial em série de senos (série de Fourier seno), pois as funções \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) satisfazem as mesmas condições de contorno e formam um conjunto ortogonal em [0,L].
A solução por separação de variáveis leva à forma
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\exp\!\bigg(-\alpha\bigg(\frac{n\pi}{L}\bigg)^2 t\bigg),
onde os coeficientes b_n são os coeficientes da série de Fourier seno da condição inicial f(x):
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx.
Explicando a razão: a ortogonalidade diz que para m\neq n
\int_0^L \sin\!\bigg(\frac{m\pi x}{L}\bigg)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx=0,
e para m=n
\int_0^L \sin^2\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx=\frac{L}{2},
daí a fórmula do coeficiente b_n.

Passo 4

Cálculo explícito dos coeficientes b_n. Aqui L=10 e f(x) é zero em [5,10], então o integral reduz para 0 até 5:
b_n=\frac{2}{10}\int_0^{5} 0{,}2x\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{10}\bigg)\,dx.
Simplificando o fator externo:
\frac{2}{10}\cdot 0{,}2 = 0{,}04,
portanto
b_n=0{,}04\int_0^{5} x\sin(ax)\,dx,
onde definimos a=\dfrac{n\pi}{10} para abreviar. Agora calcule o integral usando integração por partes. Sabendo que
\int x\sin(ax)\,dx = -\frac{x\cos(ax)}{a}+\frac{\sin(ax)}{a^2}+C,
temos o integral definido
\int_0^{5} x\sin(ax)\,dx=\bigg[-\frac{x\cos(ax)}{a}+\frac{\sin(ax)}{a^2}\bigg]_{0}^{5} =-\frac{5\cos(5a)}{a}+\frac{\sin(5a)}{a^2}.
Logo
b_n=0{,}04\Big(-\frac{5\cos(5a)}{a}+\frac{\sin(5a)}{a^2}\Big).

Passo 5

Simplificação dos coeficientes usando a=\dfrac{n\pi}{10}. Observe que 5a=\dfrac{5n\pi}{10}=\dfrac{n\pi}{2}. Substituindo 1/a=\dfrac{10}{n\pi} e 1/a^2=\dfrac{100}{n^2\pi^2}, temos
b_n=0{,}04\Big(-5\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)\cdot\frac{10}{n\pi}+\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)\cdot\frac{100}{n^2\pi^2}\Big).
Calculando os fatores numéricos:
0{,}04\cdot(-5)\cdot 10 = -2,\qquad 0{,}04\cdot 100 = 4,
portanto obtemos a forma simples
b_n=-\frac{2\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{n\pi}+\frac{4\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{n^2\pi^2}.

Passo 6

Forma alternativa (mais explícita) de b_n separando n par e ímpar, útil para cálculos rápidos na prova. Note os valores:
  • Para n=2m (par): \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0 e \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=\cos(m\pi)=(-1)^m. Assim
b_{2m} = -\frac{2(-1)^m}{2m\pi} = \frac{(-1)^{m+1}}{m\pi}.
  • Para n=2m+1 (ímpar): \cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=0 e \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)=(-1)^m. Assim
b_{2m+1}=\frac{4(-1)^m}{(2m+1)^2\pi^2}.
Exemplos rápidos para conferir: b_1=\dfrac{4}{\pi^2},\\ b_2=\dfrac{1}{\pi},\\ b_3=-\dfrac{4}{9\pi^2},\\ b_4=-\dfrac{1}{2\pi}, que coincidem com a fórmula geral.

Passo 7

Escrevendo a solução final juntando tudo. Substitua L=10 e os b_n no somatório da Passo 3; lembre que o fator exponencial envolve \alpha calculado no Passo 2. A solução é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(-\frac{2\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{n\pi}+\frac{4\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{n^2\pi^2}\bigg) \sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{10}\bigg)\exp\!\bigg(-\alpha\bigg(\frac{n\pi}{10}\bigg)^2 t\bigg),
com
\alpha=\frac{1{,}04}{10{,}6\cdot 0{,}056}\approx 1{,}752\\ \mathrm{cm^2/s}.
Essa série satisfaz as condições de contorno e, ao tomar t\downarrow 0, converge (em sentido apropriado) para f(x).

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigg(-\frac{2\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{n\pi}+\frac{4\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{n^2\pi^2}\Bigg) \sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{10}\bigg)\exp\!\bigg(-\frac{1{,}04}{10{,}6\cdot 0{,}056}\bigg(\frac{n\pi}{10}\bigg)^2 t\bigg).

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