Encontre a temperatura de distribuição numa fina barra de cobre lateralmente isolada ( c^{2}=T / \rho \sigma=1,158 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} ), com de 50 cm de comprimento e seção reta constante, tendo as extremidades em x=0 e 50 e mantida a 0^{\circ} \mathrm{C}, e a uma temperatura inicial de f(x)=x(50-x)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Comprimento da barra: \,L=50 cm (o eixo vai de x=0 até x=50).
Barra lateralmente isolada (logo a variação é só em x e t).
Extremidades mantidas a 0^\circ\mathrm{C}: condições de contorno u(0,t)=0 e u(50,t)=0 para todo t>0.
Temperatura inicial: u(x,0)=f(x)=x(50-x) para 0\le x\le50.
Difusividade térmica (denotada aqui por \alpha): \alpha=c^{2}=\dfrac{T}{\rho\sigma}=1,158\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.
O que o enunciado pede: encontrar a distribuição de temperatura u(x,t) para 0\le x\le50 e t\ge0 que satisfaça todas as condições acima.
Passo 2
Qual é a equação que governa? (aqui explico por que usamos essa equação e seus termos)
Para uma barra fina e lateralmente isolada, a evolução da temperatura em x e t é dada pela equação do calor unidimensional
\alpha é a difusividade térmica (já temos \alpha=1,158\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s});
\partial u/\partial t representa a taxa de variação temporal da temperatura;
\partial^{2}u/\partial x^{2} representa a curvatura espacial da temperatura (difusão).
As condições são:
u(0,t)=0,\qquad u(50,t)=0,\qquad u(x,0)=x(50-x).
Passo 3
Estratégia de solução (sem pular fórmulas): separação de variáveis + série de senos
Como as condições de contorno são u=0 nas extremidades, os modos espaciais que aparecem são senos \sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) (esses satisfazem zero nas extremidades).
A solução geral que atende à equação do calor e às condições de contorno pode ser escrita como uma série de modos:
onde B_{n} são coeficientes determinados pela condição inicial. Vou mostrar por que essa fórmula tem essa forma: separar u(x,t)=X(x)T(t) leva a \dfrac{T'}{\alpha T}=\dfrac{X''}{X}=-\lambda. Para \lambda>0 obtemos modos \sin que satisfazem X(0)=X(L)=0, com autovalores \lambda_n=(n\pi/L)^2, e cada modo temporal é e^{-\alpha\lambda_n t}. Essa é a base dos senos ortogonais.
Passo 4
Determinar os coeficientes B_n pela condição inicial (a parte que você vai precisar dominar na prova)
A segunda integral dá \dfrac{\sin(kx)}{k} avaliada em 0 e L. Como kL=\dfrac{n\pi}{L}\cdot L=n\pi, temos \sin(kL)=0 e \sin(0)=0. Portanto a parte com seno some e resta apenas a primeira parcela:
A=-\frac{L\cos(kL)}{k}=-\frac{L(-1)^{n}}{k},
pois \cos(kL)=\cos(n\pi)=(-1)^{n}.
Passo 7
Calcular B=\int_{0}^{L} x^{2}\sin(kx)\,dx por partes (duas partes)
Use u=x^{2}, dv=\sin(kx)\,dx então du=2x\,dx, v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}. Assim
Comentário rápido (útil na prova): a série converge rapidamente porque os coeficientes decaem como 1/(2m+1)^{3} e os fatores exponenciais causam amortecimento rápido para t>0. Para t\to\infty a solução vai para zero (estado estacionário imposto pelas extremidades).