Encontre a temperatura
numa barra semi-infinita, lateralmente isolada e que se estende ao infinito ao longo do eixo
, supondo que a temperatura inicial seja
quando
para todo valor fixo de
, e que
. Proceda como se segue.
(Fórmula de Duhamel
(Fórmula de Duhamel
Passo 1
O problema pede a temperatura
Aqui
). O enunciado fornece a fórmula de Duhamel
onde
é a solução do problema homogêneo de mesma equação com condição de contorno unitária
e condição inicial nula. No próximo passo vamos achar explicitamente
e então usar a fórmula de Duhamel.]
Passo 2
Definimos o problema auxiliar (passo unitário) para
Uma solução clássica desse problema é dada por uma função de similaridade que depende de
satisfaz
, e
satisfaz a condição no infinito; quando
e
temos
então
, como pedido. Ainda precisamos verificar que essa função satisfaz a equação do calor, o que faremos no próximo passo.]
Passo 3
Verificação que
satisfaz a equação do calor.
Definimos
. Usamos derivadas por cadeia. Conhecemos a derivada da função complementar do erro:
Calculamos
-derivadas necessárias:
Agora as derivadas de
:
E
Derivando novamente em
:
Multiplicando por
obtemos
portanto
satisfaz a equação do calor. Assim a escolha
é correta para o problema unitário.
Passo 4
Precisamos da derivada temporal
para usar na fórmula de Duhamel. Repetindo o cálculo do passo anterior (agora com a variável
no lugar de
), temos
e
Simplificando os sinais e constantes:
Esse é o núcleo (kernel) que aparece dentro da integral de Duhamel.
Passo 5
Aplicamos a fórmula de Duhamel dada:
Substituindo a expressão do passo anterior:
Fazendo a mudança de variável de convolução mais habitual
(então
,
, e quando
,
), reorganizamos a integral para ter
com
indo de
a
:
Essa forma é prática: é uma convolução temporal entre
e o kernel do calor na semi-infinita. Note que, se
for constante
, a integral reduz-se (por identidade do núcleo) a
, como esperado.
Passo 6
Comentários práticos para a prova (dica mamão com açúcar): o passo essencial é reconhecer
(caso de contorno unitário) e calcular
. A derivada levou a um kernel simples em termos de
e do expoente
. Na prova, escreva claramente a definição de
, calcule a derivada por cadeia e faça a troca de variável
para obter a convolução com
. Isso resolve o problema com poucas contas e sem transformadas complicadas.