1. \frac{\partial w}{\partial x}+x \frac{\partial w}{\partial t}=x, w(x, 0)=1, w(0, t)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial parcial de primeira ordem
\frac{\partial w}{\partial x} + x\,\frac{\partial w}{\partial t} = x,
com as condições de contorno/iniciais
w(x,0)=1\quad\text{e}\quad w(0,t)=1.
O que precisamos encontrar é a função w(x,t) que satisfaça a PDE e essas duas condições.
Informações importantes dadas:
\begin{aligned} &\text{PDE: }\frac{\partial w}{\partial x} + x\,\frac{\partial w}{\partial t} = x,\\\ &\text{condição ao longo de }t=0:\; w(x,0)=1,\\\ &\text{condição ao longo de }x=0:\; w(0,t)=1. \end{aligned}çãçã

Passo 2

Vamos usar o método das características (vou explicar passo a passo). A ideia: seguir curvas no plano (x,t) ao longo das quais a derivada total de w reduz a PDE a uma ODE ordinária. Para uma PDE da forma
a(x,t)\,w_x + b(x,t)\,w_t = c(x,t),
as curvas características são dadas pelo sistema
\frac{dx}{ds}=a(x,t),\qquad \frac{dt}{ds}=b(x,t),\qquad \frac{dw}{ds}=c(x,t),
onde s é um parâmetro ao longo da curva. No nosso caso temos a=1, b=x e c=x, logo as equações das características são
\frac{dx}{ds}=1,\qquad \frac{dt}{ds}=x,\qquad \frac{dw}{ds}=x.
Significado: ao percorrer uma característica, as taxas de variação de x,t,w satisfazem essas ODEs; integrando-as eliminamos a PDE.

Passo 3

Primeira equação: \dfrac{dx}{ds}=1. Integrando,
x(s)=s+C_1.
Para simplificar, podemos usar s=x (isto é, parametrizar a característica pelo próprio x), ou proceder eliminando s dividindo equações. Vou dividir \dfrac{dt}{ds} por \dfrac{dx}{ds} para achar uma relação direta entre t e x:
\frac{dt}{dx}=\frac{dt/ds}{dx/ds}=\frac{x}{1}=x.
Integrando \dfrac{dt}{dx}=x obtemos
t=\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é constante ao longo de cada característica. Portanto as características no plano são curvas do tipo
t-\frac{x^{2}}{2}=\text{constante}.
Essa expressão significa que a quantidade \;t-\dfrac{x^2}{2}\; é invariante ao longo de cada característica.

Passo 4

Agora relacionamos w com x. Dividindo \dfrac{dw}{ds} por \dfrac{dx}{ds} temos
\frac{dw}{dx}=\frac{dw/ds}{dx/ds}=\frac{x}{1}=x.
Integrando \dfrac{dw}{dx}=x obtemos
w(x,t)=\frac{x^{2}}{2} + \Phi\text{(C)},
onde \Phi é uma função arbitrária da constante C (pois ao integrar aparece uma constante que pode depender da característica escolhida). Como C=t-\dfrac{x^{2}}{2}, podemos escrever a solução geral como
w(x,t)=\frac{x^{2}}{2} + F\!\Big(t-\frac{x^{2}}{2}\Big),
onde F é uma função arbitrária que será determinada pelas condições dadas. Interpretação: a solução é a soma de uma parte explícita \tfrac{x^2}{2} e de uma “função de transporte” F que é constante ao longo das características.

Passo 5

Aplicamos a condição w(x,0)=1. Substituindo t=0 na forma geral:
1 = w(x,0)=\frac{x^{2}}{2} + F\!\Big(0-\frac{x^{2}}{2}\Big)=\frac{x^{2}}{2} + F\!\Big(-\frac{x^{2}}{2}\Big).
Isolando F para argumentos da forma -\dfrac{x^{2}}{2} (note que esses argumentos são sempre \le 0) obtemos
F\!\Big(-\frac{x^{2}}{2}\Big) = 1 - \frac{x^{2}}{2}.
Agora faça a mudança de variável z=-\dfrac{x^{2}}{2} (portanto z\le 0). Em termos de z isso diz
F(z)=1+z\qquad\text{para }z\le 0.
Ou seja, em argumentos não positivos, F deve ser F(z)=1+z.

Passo 6

Agora aplicamos a condição w(0,t)=1. Substituindo x=0 na solução geral:
1 = w(0,t)=\frac{0^{2}}{2} + F\!\Big(t-\frac{0^{2}}{2}\Big)=F(t).
Isto dá
F(t)=1\qquad\text{para }t\ge 0.
Ou seja, para argumentos não negativos, F(z)=1 quando z\ge 0.

Passo 7

Combinação das informações sobre F\): temos \[F(z)=\begin{cases} 1+z, & z\le 0,\\[4pt] 1, & z\ge 0. \end{cases}
Essa função é contínua em z=0\] pois \(1+0=1. Substituindo F na expressão de w,
w(x,t)=\frac{x^{2}}{2}+F\!\Big(t-\frac{x^{2}}{2}\Big).
Agora simplificamos em cada região (dependendo do sinal de t-\dfrac{x^{2}}{2}):
  • Se t-\dfrac{x^{2}}{2}\le 0 (ou seja, t\le \dfrac{x^{2}}{2}), então F\!\big(t-\dfrac{x^{2}}{2}\big)=1+\big(t-\dfrac{x^{2}}{2}\big). Logo
w(x,t)=\frac{x^{2}}{2} + \Big(1 + t - \frac{x^{2}}{2}\Big)=1+t.
  • Se t-\dfrac{x^{2}}{2}\ge 0 (ou seja, t\ge \dfrac{x^{2}}{2}), então F\!\big(t-\dfrac{x^{2}}{2}\big)=1. Logo
w(x,t)=\frac{x^{2}}{2}+1.
Observação intuitiva: um ponto (x,t) recebe dados da condição t=0 quando sua característica traçada para trás intersecta t=0; isso ocorre quando t\le x^{2}/2. Caso contrário a característica intersecta x=0 e o valor vem de w(0,t)=1.]

Resposta

w(x,t)=1+t para t\le \dfrac{x^{2}}{2}.
w(x,t)=1+\dfrac{x^{2}}{2} para t\ge \dfrac{x^{2}}{2}.

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