Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial parcial de primeira ordem
com as condições de contorno/iniciais
O que precisamos encontrar é a função
que satisfaça a PDE e essas duas condições.
Informações importantes dadas:
Informações importantes dadas:
Passo 2
Vamos usar o método das características (vou explicar passo a passo). A ideia: seguir curvas no plano
ao longo das quais a derivada total de
reduz a PDE a uma ODE ordinária. Para uma PDE da forma
as curvas características são dadas pelo sistema
onde
é um parâmetro ao longo da curva. No nosso caso temos
,
e
, logo as equações das características são
Significado: ao percorrer uma característica, as taxas de variação de
satisfazem essas ODEs; integrando-as eliminamos a PDE.
Passo 3
Primeira equação:
. Integrando,
Para simplificar, podemos usar
(isto é, parametrizar a característica pelo próprio
), ou proceder eliminando
dividindo equações. Vou dividir
por
para achar uma relação direta entre
e
:
Integrando
obtemos
onde
é constante ao longo de cada característica. Portanto as características no plano são curvas do tipo
Essa expressão significa que a quantidade
é invariante ao longo de cada característica.
Passo 4
Agora relacionamos
com
. Dividindo
por
temos
Integrando
obtemos
onde
é uma função arbitrária da constante
(pois ao integrar aparece uma constante que pode depender da característica escolhida). Como
, podemos escrever a solução geral como
onde
é uma função arbitrária que será determinada pelas condições dadas. Interpretação: a solução é a soma de uma parte explícita
e de uma “função de transporte”
que é constante ao longo das características.
Passo 5
Aplicamos a condição
. Substituindo
na forma geral:
Isolando
para argumentos da forma
(note que esses argumentos são sempre
) obtemos
Agora faça a mudança de variável
(portanto
). Em termos de
isso diz
Ou seja, em argumentos não positivos,
deve ser
.
Passo 6
Agora aplicamos a condição
. Substituindo
na solução geral:
Isto dá
Ou seja, para argumentos não negativos,
quando
.
Passo 7
Combinação das informações sobre
Essa função é contínua em
. Substituindo
na expressão de
,
Agora simplificamos em cada região (dependendo do sinal de
):
- Se
(ou seja, ), então . Logo
- Se
(ou seja, ), então . Logo
Observação intuitiva: um ponto
recebe dados da condição
quando sua característica traçada para trás intersecta
; isso ocorre quando
. Caso contrário a característica intersecta
e o valor vem de
.]