(Equação de Laplace) Encontre o potencial no retângulo 0 \leqq x \leqq 20,0 \leqq y \leqq 40 cujo lado superior é mantido no potencial de 220 V , estando os outros lados aterrados.

Passo 1

O enunciado pede para achar o potencial elétrico V(x,y)\) dentro do retângulo \[0 \leqq x \leqq 20,\qquad 0 \leqq y \leqq 40
sujeito à equação de Laplace e às condições de contorno:
\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=0 & \text{para }0<x<20,\;0<y<40,\\[6pt] V(x,0)=0 & \text{(lado inferior aterrado)},\\[4pt] V(0,y)=0 & \text{(lado esquerdo aterrado)},\\[4pt] V(20,y)=0 & \text{(lado direito aterrado)},\\[4pt] V(x,40)=220 & \text{(lado superior mantido a \(220 V)}. \end{cases}]
O que precisamos devolver é a expressão de V(x,y) válida em todo o interior do retângulo que satisfaça essa equação e essas condições.]

Passo 2

Vamos procurar soluções por separação de variáveis, assumindo uma solução do tipo
V(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na equação de Laplace obtemos
X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Como o primeiro termo depende só de x e o segundo só de y, ambos devem ser constantes. Chamamos essa constante de -\lambda, obtendo as equações ordinárias
X''(x)+\lambda X(x)=0,\qquad Y''(y)-\lambda Y(y)=0.
Agora aplicamos as condições nas bordas em x: V(0,y)=0 e V(20,y)=0 para todo y. Isso implica X(0)=0 e X(20)=0. Para ter soluções não triviais para X devemos escolher \lambda>0; escrevemos \lambda=(n\pi/a)^{2} com a=20 e n=1,2,\dots. Assim as autofunções em x são
X_{n}(x)=\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)=\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{20}\bigg).
Expliquei: escolhemos \lambda>0 porque com \lambda\le 0 as condições X(0)=X(a)=0 só permitiriam a solução trivial X\equiv0. As funções \sin satisfazem as condições de contorno e formam uma base ortogonal em 0<x<a.

Passo 3

Para cada n a equação em y é
Y_n''(y)-\bigg(\frac{n\pi}{a}\bigg)^{2}Y_n(y)=0.
A solução geral dessa equação é da forma
Y_n(y)=A_n\operatorname{sinh}\!\bigg(\frac{n\pi y}{a}\bigg)+B_n\operatorname{cosh}\!\bigg(\frac{n\pi y}{a}\bigg).
Usamos a condição V(x,0)=0 para todo x. Isso implica Y_n(0)=0, logo
Y_n(0)=A_n\operatorname{sinh}(0)+B_n\operatorname{cosh}(0)=B_n=0.
Portanto B_n=0 e
Y_n(y)=A_n\operatorname{sinh}\!\bigg(\frac{n\pi y}{a}\bigg).
Observação didática: \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} são as funções hiperbólicas definidas por \operatorname{sinh} t=(e^{t}-e^{-t})/2 e \operatorname{cosh} t=(e^{t}+e^{-t})/2. Aqui aparecem porque a equação em y tem sinal contrário à equação em x.

Passo 4

Pela linearidade da equação, a solução geral é soma das separadas:
V(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n \operatorname{sinh}\!\bigg(\frac{n\pi y}{a}\bigg)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg),
onde os C_n são constantes a determinar através da condição no topo y=b com b=40:
V(x,b)=\sum_{n=1}^{\infty} C_n \operatorname{sinh}\!\bigg(\frac{n\pi b}{a}\bigg)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)=f(x),
com f(x)=220 (constante). Para encontrar C_n expandimos f(x) em série de senos na base \sin(n\pi x/a). A fórmula dos coeficientes da série de Fourier seno é
F_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a} f(x)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,dx.
Igualando termos, vemos que
C_n \operatorname{sinh}\!\bigg(\frac{n\pi b}{a}\bigg)=F_n \quad\Rightarrow\quad C_n=\frac{F_n}{\operatorname{sinh}\!\big(\frac{n\pi b}{a}\big)}.

Passo 5

Vamos calcular F_n para f(x)=220. Usando a=20:
F_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}220\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\,dx =\frac{2\cdot 220}{a}\cdot\left[\,-\frac{a}{n\pi}\cos\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\right]_{0}^{a}.
Avaliaremos o colchete:
\left[-\frac{a}{n\pi}\cos\!\bigg(\frac{n\pi x}{a}\bigg)\right]_{0}^{a} =-\frac{a}{n\pi}\big(\cos(n\pi)-\cos 0\big) =-\frac{a}{n\pi}\big((-1)^{n}-1\big).
Substituindo,
F_n=\frac{440}{a}\cdot\left(-\frac{a}{n\pi}\big((-1)^{n}-1\big)\right) =\frac{440}{n\pi}\big(1-(-1)^{n}\big).
Note que 1-(-1)^{n}=0 para n par e =2 para n ímpar. Portanto
F_n=\begin{cases} \displaystyle \frac{880}{n\pi}, & n\text{ ímpar},\\[6pt] 0, & n\text{ par}. \end{cases}í
Isso significa que apenas os termos de índice ímpar aparecem na série (simetria: uma função constante tem expansão em senos com só os modos ímpares quando as extremidades estão fixas em zero).]

Passo 6

Agora substituímos C_n=F_n/\operatorname{sinh}\!\big(\frac{n\pi b}{a}\big) na série geral, lembrando a=20 e b=40. Para n par o coeficiente é zero; para n ímpar escrevemos n=2m+1 com m=0,1,2,\dots. Assim
V(x,y)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{F_{2m+1}}{\operatorname{sinh}\!\big(\frac{(2m+1)\pi b}{a}\big)}\operatorname{sinh}\!\bigg(\frac{(2m+1)\pi y}{a}\bigg)\sin\!\bigg(\frac{(2m+1)\pi x}{a}\bigg).
Substituindo F_{2m+1}=\dfrac{880}{(2m+1)\pi}, a=20 e b=40 (portanto \dfrac{b}{a}=2), obtemos
V(x,y)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{880}{(2m+1)\pi}\, \frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{(2m+1)\pi y}{20}\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{(2m+1)\pi\cdot 40}{20}\big)} \sin\!\bigg(\frac{(2m+1)\pi x}{20}\bigg).
Podemos simplificar o denominador usando \dfrac{(2m+1)\pi\cdot 40}{20}=(2m+1)\,2\pi; então
V(x,y)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{880}{(2m+1)\pi}\, \frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{(2m+1)\pi y}{20}\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(2(2m+1)\pi\big)} \sin\!\bigg(\frac{(2m+1)\pi x}{20}\bigg).
Essa é a solução clássica em série de Fourier; converge rapidamente porque \operatorname{sinh}\big(2(2m+1)\pi\big) cresce muito rápido com m.

Passo 7

Interpretação prática e dica para prova: para avaliar V(x,y) aproximadamente, basta tomar os primeiros termos da série (por exemplo m=0 e m=1). O termo dominante é m=0 (correspondente a n=1):
\text{termo principal}=\frac{880}{\pi}\, \frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{\pi y}{20}\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(2\pi\big)} \sin\!\bigg(\frac{\pi x}{20}\bigg).
Na prova, mostre o procedimento de separação de variáveis, encontre os coeficientes via ortogonalidade dos senos e escreva a série final como acima. Se precisar de um valor numérico para um ponto específico, use os primeiros termos da série e calcule com uma calculadora.

Resposta

V(x,y)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{880}{(2m+1)\pi}\, \frac{\operatorname{sinh}\!\big(\dfrac{(2m+1)\pi y}{20}\big)}{\operatorname{sinh}\!\big(2(2m+1)\pi\big)} \sin\!\bigg(\frac{(2m+1)\pi x}{20}\bigg).

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