(Equação de Laplace) Encontre o potencial no retângulo 0 \leqq x \leqq 20,0 \leqq y \leqq 40 cujo lado superior é mantido no potencial de 220 V , estando os outros lados aterrados.
Passo 1
O enunciado pede para achar o potencial elétrico V(x,y)\) dentro do retângulo
\[0 \leqq x \leqq 20,\qquad 0 \leqq y \leqq 40
sujeito à equação de Laplace e às condições de contorno:
Como o primeiro termo depende só de x e o segundo só de y, ambos devem ser constantes. Chamamos essa constante de -\lambda, obtendo as equações ordinárias
Agora aplicamos as condições nas bordas em x: V(0,y)=0 e V(20,y)=0 para todo y. Isso implica X(0)=0 e X(20)=0. Para ter soluções não triviais para X devemos escolher \lambda>0; escrevemos \lambda=(n\pi/a)^{2} com a=20 e n=1,2,\dots. Assim as autofunções em x são
Expliquei: escolhemos \lambda>0 porque com \lambda\le 0 as condições X(0)=X(a)=0 só permitiriam a solução trivial X\equiv0. As funções \sin satisfazem as condições de contorno e formam uma base ortogonal em 0<x<a.
Observação didática: \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} são as funções hiperbólicas definidas por \operatorname{sinh} t=(e^{t}-e^{-t})/2 e \operatorname{cosh} t=(e^{t}+e^{-t})/2. Aqui aparecem porque a equação em y tem sinal contrário à equação em x.
Passo 4
Pela linearidade da equação, a solução geral é soma das separadas:
com f(x)=220 (constante). Para encontrar C_n expandimos f(x) em série de senos na base \sin(n\pi x/a). A fórmula dos coeficientes da série de Fourier seno é
Isso significa que apenas os termos de índice ímpar aparecem na série (simetria: uma função constante tem expansão em senos com só os modos ímpares quando as extremidades estão fixas em zero).]
Passo 6
Agora substituímos C_n=F_n/\operatorname{sinh}\!\big(\frac{n\pi b}{a}\big) na série geral, lembrando a=20 e b=40. Para n par o coeficiente é zero; para n ímpar escrevemos n=2m+1 com m=0,1,2,\dots. Assim
Essa é a solução clássica em série de Fourier; converge rapidamente porque \operatorname{sinh}\big(2(2m+1)\pi\big) cresce muito rápido com m.
Passo 7
Interpretação prática e dica para prova: para avaliar V(x,y) aproximadamente, basta tomar os primeiros termos da série (por exemplo m=0 e m=1). O termo dominante é m=0 (correspondente a n=1):
Na prova, mostre o procedimento de separação de variáveis, encontre os coeficientes via ortogonalidade dos senos e escreva a série final como acima. Se precisar de um valor numérico para um ponto específico, use os primeiros termos da série e calcule com uma calculadora.