Resolva por transformadas de Laplace
,
se
se
,
se
Passo 1
O enunciado dá a equação em derivadas parciais
com condições iniciais e de contorno
O que se pede é encontrar
para
. Todas as informações relevantes estão acima: PDE, duas condições iniciais (valores em
) e a condição de contorno em
.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em
definida por
Preciso das transformadas das derivadas em
. Para função com dependência em
tratamos
como parâmetro; as fórmulas são
Como
e
, essas fórmulas simplificam para
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à PDE (transformando apenas em
) obtemos uma equação ordinária em
:
Fatorando
no lado direito:
Passo 4
Simplifico o coeficiente:
Definindo
(escolhemos o sinal positivo para a raiz principal), a EDO fica
A equação característica tem solução geral
Passo 5
Precisamos determinar
e
. Da condição de contorno em
temos a transformada de
:
Logo
Passo 6
Para escolher
e
usamos a condição física/matemática de que
deve permanecer limitada (ou ao menos não explodir) quando
. No domínio de Laplace isso implica que a solução não pode conter o termo exponencial crescente
(pois geraria divergência para grandes
). Assim tomamos
. Portanto
e como
obtemos
Passo 7
Substituo
para escrever o expoente de forma conveniente:
Assim
Passo 8
Agora invertemos a transformada de Laplace. Usamos o teorema do deslocamento no tempo (segunda propriedade de translação): se
então
onde
é a função degrau de Heaviside. Aqui
e
, e o deslocamento é
. Além disso há o fator multiplicativo constante
que sai direto na inversa. Portanto
Passo 9
Escrevendo de forma explícita em partes (mais útil na prova):
Podemos checar rapidamente: em
para qualquer
temos
então
(condição inicial satisfeita) e derivada temporal inicial também nula; em
a solução dá
(condição de contorno satisfeita).]