(2,5) Uma barra de massa M e tamanho L é suspensa por um eixo. O eixo esta situado na extremidade superior da barra. Uma mola horizontal cuja constante é k possui uma extremidade presa a um quarto de L distante do eixo, e sua outra extremidade está rigidamente presa a um suporte.
a) (1,0) Encontre o torque restaurador, quando a barra é levemente deslocada de sua posição de equilibrio.
b) (1,5) Prove que o. sistema apresenta MHS e calcule a frequência angular da oscilação omega.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão é sobre uma barra de massa M e comprimento L, presa num eixo na sua extremidade superior. A uma distância L/4 do eixo, existe uma mola horizontal de constante elástica k ligada a um suporte fixo.
Conteúdo: dinâmica rotacional (torque e momento de inércia), aproximação de pequenos ângulos e movimento harmônico simples (MHS).
O que precisamos:
  • Definir torque de mola e torque gravitacional
  • Saber o momento de inércia da barra em torno da extremidade:
I = tfrac13 M L^2
  • Usar a aproximação sintheta approx theta para theta pequeno.

Passo 2

Primeiro, o torque da mola. Quando a barra gira um ângulo theta, o ponto de fixação da mola (a r=L/4 do eixo) desloca-se horizontalmente cerca de
x approx r,theta = L4,theta
A mola gera uma força restauradora
F = -k,x = -k,L4,theta
O torque dessa força em relação ao eixo é
taurm mola = r times F ;approx; L4,l(-k,tfracL4,thetar) = -k,l(L4r)^2,theta

Passo 3

Agora o torque da gravidade. O peso Mg age no centro de massa, a L/2 do eixo. Quando a barra gira theta, o braço de alavanca é (L/2)sintheta, gerando
taurm grav = -Mg,L2,sintheta ;approx;-Mg,L2,theta

Passo 4

Somando os dois torques restauradores, para pequenos theta:
taurm total =taurm mola+taurm grav = -l(Mg,L2 + k,l(tfracL4r)^2r),theta

Passo 5

A equação de movimento rotacional é
I,ddottheta = taurm total ;;Longrightarrow;; I,ddottheta + l(Mg,tfracL2 + k,l(tfracL4r)^2r)theta = 0
Isso tem formato de MHS, ddottheta + omega^2,theta=0, com
omega^2 =Mg,tfracL2 + k,l(tfracL4r)^2I

Passo 6

Substituindo I=tfrac13ML^2:
omega^2 =Mg,tfracL2 + k,tfracL^216tfrac13ML^2 =3g2L ;+;3k16M,
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omega = raiz3g2L + 3k16M

Resposta

a) taurm rest = -l(Mg,tfracL2 + k,l(tfracL4r)^2r),theta
b) O movimento é MHS com
omega = raiz3g2L + 3k16M

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