(2,5). Um sistema massa-mola forçado, com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igual a 200 N / m e um corpo de massa igual a 0,500 kg. A constante de atrito tem valor b=1,0 kg / s. A força externa aplicada é dada por F(t)=12 cos (19 t) N.
a) (0,5) Calcule o fator qualidade Q e o fator de amortecimento y desse oscilador.
b) (1,0) Encontre a amplitude de baixas frequências e a amplitude na ressonância.
c) (1,0) Faça um gráfico da curva de ressonância para esse oscilador, em escala, indicando a amplitude máxima, a amplitude mínima, a meia largura e a frequência de ressonância.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular a questão. É um oscilador massa-mola amortecido fracamente e forçado:
• m = 0,50 kg
• k = 200 N/m
• b = 1,0 kg/s
• F(t) = 12 cos(19 t) N
O conteúdo aqui é resposta em frequência de um oscilador forçado: frequência natural, fator de amortecimento γ, fator de qualidade Q, curva de ressonância, amplitude em ω→0 e no pico, e banda de meia-potência. Para resolver a gente vai usar:
  1. ω₀=√(k/m)
  2. γ=b/(2m) e Q=ω₀/(2γ)
  3. fórmula da amplitude estacionária A(ω)
  4. condição de ressonância e meia-largura (Δω)

Passo 2

Calcular ω₀, γ e Q:
  1. Frequência natural
    ω₀ = √(k/m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s
  2. Fator de amortecimento
    γ = b / (2m) = 1,0 / (2·0,5) = 1,0 s⁻¹
  3. Fator de qualidade
    Q = ω₀ / (2γ) = 20 / (2·1) = 10

Passo 3

Amplitude em baixas frequências e na ressonância:
A expressão geral da amplitude no regime estacionário é
A(ω);=;F0/mraiz(omega0^2 - ω^2)^2 + (2,γ,ω)^2
com F₀=12 N e m=0,5 kg.
a) ω→0:
A(0) = F0k = 12200 = 0,06 m
b) Pico de ressonância:
• A frequência de pico (para amortecimento fraco)
ωr = raizω0^2 - 2γ^2approxraiz400 -2=19,95 rad/sapprox20
• Amplitude máxima
Amax = A(ωr)approx F0b,ωr = 121cdot19,95approx0,60 m

Passo 4

Esboço da curva A×ω (resposta em frequência):
  1. Eixo horizontal: ω de 0 a ~40 rad/s. Marcar ω_r≈20 rad/s.
  2. Eixo vertical: A de 0 a ~0,6 m.
  3. Em ω=0, A(0)=0,06 m; em ω→∞, A→0.
  4. Pico em (ω_r≈20 rad/s; A_max≈0,60 m).
  5. Meia-largura a meia-altura (full width at half maximum):
    • A_max/√2 ≈0,60/1,414≈0,424 m
    • frequências nas quais A = A_max/√2 são
ω1 ≈ ωr - γ ≈19,95 -1 =18,95,, ω2 ≈ ωr + γ ≈19,95 +1 =20,95
  • Largura de ressonância Δω = ω_2 - ω_1 ≃ 2 rad/s.

Resposta

a) Q = 10; γ = 1,0 s⁻¹
b) A(0) = 0,06 m; A_res = A_max ≃ 0,60 m
c) Gráfico de A(ω): pico em ω_r ≃ 20 rad/s com A_max ≃ 0,60 m, valor mínimo (ω→∞)→0, meia-largura de meia-altura Δω ≃ 2 rad/s (ω₁≃18,95, ω₂≃20,95).

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