. Um sistema massa-mola forçado, com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igual a
e um corpo de massa igual a
. A constante de atrito tem valor
. A força externa aplicada é dada por
.
a)
Calcule o fator qualidade
e o fator de amortecimento
desse oscilador.
b)
Encontre a amplitude de baixas frequências e a amplitude na ressonância.
c)
Faça um gráfico da curva de ressonância para esse oscilador, em escala, indicando a amplitude máxima, a amplitude mínima, a meia largura e a frequência de ressonância.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos recapitular a questão. É um oscilador massa-mola amortecido fracamente e forçado:
• m = 0,50 kg
• k = 200 N/m
• b = 1,0 kg/s
• F(t) = 12 cos(19 t) N
• m = 0,50 kg
• k = 200 N/m
• b = 1,0 kg/s
• F(t) = 12 cos(19 t) N
O conteúdo aqui é resposta em frequência de um oscilador forçado: frequência natural, fator de amortecimento γ, fator de qualidade Q, curva de ressonância, amplitude em ω→0 e no pico, e banda de meia-potência. Para resolver a gente vai usar:
- ω₀=√(k/m)
- γ=b/(2m) e Q=ω₀/(2γ)
- fórmula da amplitude estacionária A(ω)
- condição de ressonância e meia-largura (Δω)
Passo 2
Calcular ω₀, γ e Q:
-
Frequência natural
ω₀ = √(k/m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s -
Fator de amortecimento
γ = b / (2m) = 1,0 / (2·0,5) = 1,0 s⁻¹ -
Fator de qualidade
Q = ω₀ / (2γ) = 20 / (2·1) = 10
Passo 3
Amplitude em baixas frequências e na ressonância:
A expressão geral da amplitude no regime estacionário é
com F₀=12 N e m=0,5 kg.
a) ω→0:
b) Pico de ressonância:
• A frequência de pico (para amortecimento fraco)
• A frequência de pico (para amortecimento fraco)
• Amplitude máxima
Passo 4
Esboço da curva A×ω (resposta em frequência):
- Eixo horizontal: ω de 0 a ~40 rad/s. Marcar ω_r≈20 rad/s.
- Eixo vertical: A de 0 a ~0,6 m.
- Em ω=0, A(0)=0,06 m; em ω→∞, A→0.
- Pico em (ω_r≈20 rad/s; A_max≈0,60 m).
- Meia-largura a meia-altura (full width at half maximum):
- A_max/√2 ≈0,60/1,414≈0,424 m
- frequências nas quais A = A_max/√2 são
- Largura de ressonância Δω = ω_2 - ω_1 ≃ 2 rad/s.
Resposta
a) Q = 10; γ = 1,0 s⁻¹
b) A(0) = 0,06 m; A_res = A_max ≃ 0,60 m
c) Gráfico de A(ω): pico em ω_r ≃ 20 rad/s com A_max ≃ 0,60 m, valor mínimo (ω→∞)→0, meia-largura de meia-altura Δω ≃ 2 rad/s (ω₁≃18,95, ω₂≃20,95).
b) A(0) = 0,06 m; A_res = A_max ≃ 0,60 m
c) Gráfico de A(ω): pico em ω_r ≃ 20 rad/s com A_max ≃ 0,60 m, valor mínimo (ω→∞)→0, meia-largura de meia-altura Δω ≃ 2 rad/s (ω₁≃18,95, ω₂≃20,95).