(2,5) Um corpo de 0,400 kg, preso a certa mola com constante de força k=300 N / m, constitui um oscilador fracamente amortecido. No instante inicial o corpo é deslocado de 0,50 m da origem e solto. Durante o primeiro ciclo o sistema perde 10,0 % de sua energia
a) (1,0) Calcule o fator de qualidade Q e o fator de amortecimento gamma.
b) ( 1,0 ) Em quantos ciclos o oscilador perde 70 % de sua energia inicial?
c) ( 0,5 ).Em quantos ciclos a amplitude é igual a 4 0 % da inicial? (perde 60 % )

Passo 1

Beleza, então a questão é de oscilações amortecidas. A gente tem um corpo de massa
m=0,400;kg
preso a uma mola de constante
k=300;N/m,
Ele é deslocado x0=0,50,m e solto. No primeiro ciclo perde 10,0% da energia.
O que pedem:
a) fator de qualidade Q e coeficiente de amortecimento gamma,
b) em quantos ciclos perde 70% da energia inicial,
c) em quantos ciclos a amplitude cai a 40% da inicial.
Para isso vamos precisar de:
  • frequência natural omega0=raizk/m e período T=2pi/omega0,
  • decaimento exponencial da energia amortecida:
E(t)=E0,e^-gamma t,,
  • energia após um ciclo:
E1=E0,e^-gamma T,

Passo 2

a) Calcular omega0 e T, depois achar gamma e Q.
  1. omega0=raizkm =raiz3000,400approx27,39;rad/s.
  2. T=2piomega0 approx2pi27,39approx0,2296;s.
  3. Como no 1º ciclo E1/E0=0,90, temos
e^-gamma T=0,90Longrightarrow gamma=-1Tln(0,90) approx-10,2296,(-0,10536) approx0,458;s^-1,
  1. O fator de qualidade é
Q=omega0gamma approx27,390,458 approx59,8,

Passo 3

b) Quantos ciclos para perder 70% da energia?
Após n ciclos a energia é
EnE0=(e^-gamma T)^n=(0,90)^n,
Precisamos (0,90)^n<=0,30 (perde 70%), então
n>=ln(0,30)ln(0,90) approx-1,2040-0,10536 approx11,42,
Logo, precisa de cerca de 12 ciclos para cair abaixo de 30% da energia.

Passo 4

c) Quando a amplitude cai a 40% da inicial?
Lembra que Epropto A^2, então
AnA0 =raizEnE0 =(0,90)^,n/2,
Queremos (0,90)^n/2=0,40. Fazendo log:
n2ln(0,90)=ln(0,40) Longrightarrow n=2,ln(0,40)ln(0,90) approx2,(-0,9163)-0,10536 approx17,38,
Ou seja, depois de uns 17,4 ciclos a amplitude chega a 40% da inicial (em prática, cerca de 18 ciclos completos).

Resposta

a) Qapprox59,8 e gammaapprox0,458;s^-1.
b) Cerca de 12 ciclos para perder 70% da energia.
c) Cerca de 17,4 ciclos (≈18 ciclos completos) para a amplitude chegar a 40% da inicial.

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