Uma barra
é dividida em
elementos. Cada elemento tem erro de arredondamento
.
- Estime erro total no comprimento.
- Discuta impacto em rigidez
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar bem direitinho para a gente não se perder):
São feitas duas perguntas:
- Estime o erro total no comprimento após somar os
elementos que compõem a barra. - Discuta o impacto desse erro na rigidez
.
Vou proceder supondo que
é o erro (absoluto) associado a cada elemento. Não vou assumir nada que você não tenha dado; quando for relevante, eu explico o que muda se o erro for sistemático ou aleatório.
Passo 2
Entendendo como erros se somam — dois modelos úteis (quase sempre os professores querem que você cite estes dois):
- Modelo pessimista / pior caso (erros perfeitamente correlacionados): todos os erros têm o mesmo sinal e se somam. Então o erro total é, no máximo, a soma das magnitudes:
. - Modelo estatístico / típico (erros independentes, média zero): se os erros de cada elemento são pequenos e independentes com média zero, os desvios se combinam como uma soma aleatória e o desvio típico total é da ordem de
. Isso vem da propriedade da variância da soma de variáveis independentes (variância soma; desvio padrão final é raiz da soma).
Vou calcular os dois para você e comentar qual é mais “realista”.
Passo 3
Cálculo do pior caso (todos os erros com mesmo sinal):
Substituindo:
Interpretação prática:
Relativo ao comprimento total:
Em percentagem isso é
.
Passo 4
Cálculo do desvio típico (modelo aleatório, soma em raiz de
):
Substituindo:
Sabemos que
, então
Interpretação prática:
Relativo ao comprimento total:
Em percentagem isso é aproximadamente
.
Passo 5
Observações sobre o significado desses números (importante para prova e para saber o que responder):
- Se o erro por elemento for um erro de arredondamento ao valor representável (por exemplo arredondamento para múltiplos de
), o erro máximo por elemento costuma ser (arredondamento para o mais próximo). O enunciado deu explicitamente; aqui eu tratei como a magnitude típica máxima por elemento. Se você preferir o caso “meio-passo”, multiplica os resultados acima por . - O caso mais realista em medições sem viés é o modelo RMS (
). O caso pessimista (soma direta ) corresponde a um viés sistemático (por exemplo, sempre arredondando para cima) — aí os erros não se cancelam.
Passo 6
Como isso afeta a rigidez
. Vou derivar a relação de propagação de erro de forma didática.
A ideia: se
depende de
, uma pequena variação
causa uma variação aproximada (linearizada)
dada por derivada:
Calcule a derivada:
Portanto:
Interpretação simples: a variação relativa da rigidez é (aproximadamente) o negativo da variação relativa do comprimento. Se o comprimento aumenta, a rigidez diminui proporcionalmente, e vice-versa.
Passo 7
Aplicando aos dois modelos de erro do comprimento:
- Pior caso (
):
Em percentagem:
. Ou seja, rigidez muda cerca de
(sinal negativo indica diminuição se
aumentar).
- Modelo RMS (
):
Em percentagem: aproximadamente
.
Passo 8
Conclusão prática e recomendação para prova:
- O erro absoluto total no pior caso é pequeno:
(0,1 mm). No modelo mais realista (erros independentes), o erro típico é (3,16 µm). Sempre explique qual modelo você está usando em prova. - A rigidez é pouco afetada: mudança relativa em
igual à mudança relativa em (com sinal negativo). Mesmo no pior caso a alteração em é da ordem de (0,01%), isto é, desprezível para a maioria das aplicações de engenharia, mas pode ser relevante se você precisa de precisão extrema. - Se houver viés sistemático (por exemplo todos os elementos arredondados para cima), use o pior caso; se erros forem estatisticamente independentes, use o modelo RMS.
Resposta
(1) Erro total worst-case:
(0{,}1 mm, relativo
).
(1) Erro total típico (RMS, erros independentes): (3{,}16 µm, relativo
).
(2) Impacto em :
. Numericamente, worst-case
(−0{,}01%), RMS
(−0{,}000316%).
(1) Erro total típico (RMS, erros independentes):
(2) Impacto em