Uma barra L=1,0 \mathrm{~m} é dividida em N=1000 elementos. Cada elemento tem erro de arredondamento \epsilon=10^{-7} \mathrm{~m}.
  1. Estime erro total no comprimento.
  2. Discuta impacto em rigidez k=E A / L.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar bem direitinho para a gente não se perder):
L=1{,}0\\ \mathrm{m},\qquad N=1000,\qquad \epsilon=10^{-7}\\ \mathrm{m}.
São feitas duas perguntas:
  1. Estime o erro total no comprimento após somar os N elementos que compõem a barra.
  2. Discuta o impacto desse erro na rigidez \displaystyle k=\frac{E A}{L}.
Vou proceder supondo que \epsilon é o erro (absoluto) associado a cada elemento. Não vou assumir nada que você não tenha dado; quando for relevante, eu explico o que muda se o erro for sistemático ou aleatório.

Passo 2

Entendendo como erros se somam — dois modelos úteis (quase sempre os professores querem que você cite estes dois):
  • Modelo pessimista / pior caso (erros perfeitamente correlacionados): todos os erros têm o mesmo sinal e se somam. Então o erro total é, no máximo, a soma das magnitudes: \text{erro}_{\max}=N\epsilon.
  • Modelo estatístico / típico (erros independentes, média zero): se os erros de cada elemento são pequenos e independentes com média zero, os desvios se combinam como uma soma aleatória e o desvio típico total é da ordem de \sqrt{N}\epsilon. Isso vem da propriedade da variância da soma de variáveis independentes (variância soma; desvio padrão final é raiz da soma).
Vou calcular os dois para você e comentar qual é mais “realista”.

Passo 3

Cálculo do pior caso (todos os erros com mesmo sinal):
\text{erro}_{\max}=N\epsilon.
Substituindo:
\text{erro}_{\max}=1000\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}=10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: \displaystyle 10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}0001\\ \mathrm{m}=0{,}1\\ \mathrm{mm}.
Relativo ao comprimento total:
\frac{\text{erro}_{\max}}{L}=\frac{10^{-4}}{1{,}0}=10^{-4}.
Em percentagem isso é 10^{-4}=0{,}01\%.

Passo 4

Cálculo do desvio típico (modelo aleatório, soma em raiz de N):
\text{erro}_{\text{rms}}=\sqrt{N}\,\epsilon.
Substituindo:
\text{erro}_{\text{rms}}=\sqrt{1000}\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Sabemos que \sqrt{1000}\approx 31{,}622776, então
\text{erro}_{\text{rms}}\approx 31{,}6228\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}\approx 3{,}16\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: \displaystyle 3{,}16\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}=3{,}16\\ \mu\mathrm{m}.
Relativo ao comprimento total:
\frac{\text{erro}_{\text{rms}}}{L}\approx 3{,}16\times 10^{-6}.
Em percentagem isso é aproximadamente 3{,}16\times 10^{-6}=0{,}000316\%.

Passo 5

Observações sobre o significado desses números (importante para prova e para saber o que responder):
  • Se o erro por elemento for um erro de arredondamento ao valor representável (por exemplo arredondamento para múltiplos de \epsilon), o erro máximo por elemento costuma ser \epsilon/2 (arredondamento para o mais próximo). O enunciado deu \epsilon explicitamente; aqui eu tratei \epsilon como a magnitude típica máxima por elemento. Se você preferir o caso “meio-passo”, multiplica os resultados acima por 1/2.
  • O caso mais realista em medições sem viés é o modelo RMS ( \sqrt{N}). O caso pessimista (soma direta N\epsilon) corresponde a um viés sistemático (por exemplo, sempre arredondando para cima) — aí os erros não se cancelam.

Passo 6

Como isso afeta a rigidez \displaystyle k=\frac{E A}{L}. Vou derivar a relação de propagação de erro de forma didática.
A ideia: se k depende de L, uma pequena variação \delta L causa uma variação aproximada (linearizada) \delta k dada por derivada:
\delta k \approx \frac{d}{dL}\left(\frac{E A}{L}\right)\delta L.
Calcule a derivada:
\frac{d}{dL}\left(\frac{E A}{L}\right) = -\frac{E A}{L^{2}} = -\frac{k}{L}.
Portanto:
\delta k \approx -\frac{k}{L}\,\delta L \quad\Rightarrow\quad \frac{\delta k}{k}\approx -\frac{\delta L}{L}.
Interpretação simples: a variação relativa da rigidez é (aproximadamente) o negativo da variação relativa do comprimento. Se o comprimento aumenta, a rigidez diminui proporcionalmente, e vice-versa.

Passo 7

Aplicando aos dois modelos de erro do comprimento:
  • Pior caso ( \delta L=\text{erro}_{\max}=10^{-4}\\ \mathrm{m}):
\frac{\delta k}{k}\approx -\frac{10^{-4}}{1{,}0}=-10^{-4}.
Em percentagem: -10^{-4}=-0{,}01\%. Ou seja, rigidez muda cerca de 0{,}01\% (sinal negativo indica diminuição se L aumentar).
  • Modelo RMS ( \delta L=\text{erro}_{\text{rms}}\approx 3{,}16\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}):
\frac{\delta k}{k}\approx -3{,}16\times 10^{-6}.
Em percentagem: aproximadamente -0{,}000316\%.

Passo 8

Conclusão prática e recomendação para prova:
  • O erro absoluto total no pior caso é pequeno: \displaystyle 1\times 10^{-4}\\ \mathrm{m} (0,1 mm). No modelo mais realista (erros independentes), o erro típico é \displaystyle 3{,}16\times 10^{-6}\\ \mathrm{m} (3,16 µm). Sempre explique qual modelo você está usando em prova.
  • A rigidez é pouco afetada: mudança relativa em k igual à mudança relativa em L (com sinal negativo). Mesmo no pior caso a alteração em k é da ordem de 10^{-4} (0,01%), isto é, desprezível para a maioria das aplicações de engenharia, mas pode ser relevante se você precisa de precisão extrema.
  • Se houver viés sistemático (por exemplo todos os elementos arredondados para cima), use o pior caso; se erros forem estatisticamente independentes, use o modelo RMS.

Resposta

(1) Erro total worst-case: \displaystyle 10^{-4}\\ \mathrm{m} (0{,}1 mm, relativo 10^{-4}=0{,}01\%).
(1) Erro total típico (RMS, erros independentes): \displaystyle 3{,}16\times 10^{-6}\\ \mathrm{m} (3{,}16 µm, relativo 3{,}16\times 10^{-6}=0{,}000316\%).
(2) Impacto em k: \displaystyle \frac{\delta k}{k}\approx -\frac{\delta L}{L}. Numericamente, worst-case \displaystyle \frac{\delta k}{k}\approx -10^{-4} (−0{,}01%), RMS \displaystyle \frac{\delta k}{k}\approx -3{,}16\times 10^{-6} (−0{,}000316%).

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