Dados p_{1}=101325 \mathrm{~Pa} e p_{2}=101324 \mathrm{~Pa}.
  1. Calcule \Delta p.
  2. Use Bernoulli v=\sqrt{2 \Delta p / \rho} com \rho=1,2.
  3. Discuta o cancelamento e impacto em CFD.

Passo 1

O enunciado dá duas pressões e pede três coisas. Dados fornecidos:
p_{1}=101325\\ \mathrm{Pa},\qquad p_{2}=101324\\ \mathrm{Pa}
Perguntas do problema:
  1. Calcular \Delta p (diferença de pressão).
  2. Usar a fórmula de Bernoulli v=\sqrt{2\,\Delta p/\rho} com \rho=1,2 para encontrar v.
  3. Discutir o fenômeno de cancelamento (numérico) e seu impacto em CFD, com sugestões práticas.

Passo 2

Calcular \Delta p explicitamente. A definição é a diferença entre as pressões dadas:
\Delta p = p_{1}-p_{2}.
Substituindo os valores do enunciado:
\Delta p = 101325 - 101324 = 1\\ \mathrm{Pa}.
Portanto \Delta p é exatamente 1\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Entender e aplicar a fórmula de Bernoulli pedida. A expressão fornecida é
v=\sqrt{\frac{2\,\Delta p}{\rho}}.
O que cada símbolo significa (explicação didática):
  • \Delta p é a diferença de pressão que causa o escoamento (já calculada).
  • \rho é a densidade do fluido (no enunciado \rho=1,2, assumimos \mathrm{kg/m^{3}}).
  • v é a velocidade resultante associada a essa diferença de pressão, obtida por conservação de energia simplificada (Bernoulli) entre dois pontos: a energia de pressão convertida em energia cinética.
Agora aplicamos numericamente. Primeiro simplificamos a fração:
\frac{2\,\Delta p}{\rho}=\frac{2\cdot 1}{1,2}=\frac{2}{1,2}=\frac{5}{3}\approx 1,666\ldots
Logo
v=\sqrt{\frac{5}{3}}.
Calculando a raiz:
v \approx 1,29099445\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos escrever
v \approx 1,291\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: uma queda de pressão de apenas 1\\ \mathrm{Pa} num ar com densidade 1,2\\ \mathrm{kg/m^{3}} levaria, segundo essa relação simples, a uma velocidade da ordem de 1{,}3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Explicação do cancelamento numérico — conceito, por que preocupa e como avaliar (didático e prático).
  • O cancelamento ocorre quando subtraímos dois números grandes e muito próximos; a diferença pode perder dígitos significativos devido ao formato de representação em ponto flutuante, amplificando erros relativos.
  • Regra prática (cota pessimista): se a e b têm erro relativo da ordem de \varepsilon (a unidade de arredondamento da aritmética), a subtração a-b pode ter erro relativo da ordem de
\varepsilon\,\frac{|a|+|b|}{|a-b|}.
Aplicando aos nossos números ( a=p_{1},\,b=p_{2}, |a-b|=1):
\text{erro relativo máximo} \approx \varepsilon\frac{101325+101324}{1}=\varepsilon\cdot 202649.á
  • Valores típicos de \varepsilon: \varepsilon_{\text{single}}\approx 1{,}19\times 10^{-7},\qquad \varepsilon_{\text{double}}\approx 2{,}22\times 10^{-16}.Usando estes: \text{limite}_{\text{single}}\approx 1{,}19\times 10^{-7}\cdot 202649\approx 0{,}0241\quad(\approx 2{,}41\%),
\text{limite}_{\text{double}}\approx 2{,}22\times 10^{-16}\cdot 202649\approx 4{,}5\times 10^{-11}\\ (\text{praticamente zero}).
  • Observação prática: este é um bound pessimista (pior caso). Em muitos casos concretos os inteiros na faixa menor que 2^{24} são representados exatamente em precisão simples, logo a subtração pode sair exata. Porém, se as pressões tiverem parte fracionária ou se operações intermediárias introduzirem arredondamento, o problema pode aparecer.
Impacto em CFD e recomendações práticas (resumidas, para prova e uso real):
  1. Em muitas formulações de CFD (escoamento incompressível) apenas os gradientes de pressão importam; a pressão absoluta pode ser deslocada por uma constante. Portanto, trabalhar com pressão relativa/perturbação p' = p - p_\text{ref} reduz magnitudes e o risco de cancelamento.
  2. Usar dupla precisão (double) é a solução mais segura para evitar amplificação de erros quando diferenças pequenas são relevantes.
  3. Reescalonar/não-dimensionalizar as equações reduz condições numéricas ruins (tornar variáveis da mesma ordem de grandeza).
  4. Quando possível, calcule diferenças de pressão diretamente (Δp) em vez de subtrair números muito grandes obtidos separadamente; armazene e transporte quantidades de interesse em forma de perturbação.
  5. Para escoamentos de baixo Mach, considere técnicas como pré-condicionamento e formulações específicas que evitam dependência de pressões grandes como referência.
  6. Consequências práticas de não tratar o problema: velocidades espúrias, perda de convergência do solucionador, ruído numérico e resultados não confiáveis quando \Delta p é muito menor que as pressões absolutas.

Passo 5

Resumo motivador (só para te animar): você fez a conta direta (diferença é pequena, velocidade também é pequena) e aprendeu a armadilha numérica principal — isso já te deixa bem preparado para responder questões teóricas e práticas na prova. Se for implementar em código, siga as recomendações do passo anterior para evitar surpresas.

Resposta

\Delta p = 1\\ \mathrm{Pa}\n
v=\sqrt{\dfrac{2\Delta p}{\rho}}=\sqrt{\dfrac{5}{3}}\approx 1,291\\ \mathrm{m/s}\n
Discussão: risco de cancelamento ao subtrair pressões grandes e próximas; cota pessimista dá erro relativo até \approx 2{,}41\% em precisão simples e \approx 4{,}5\times10^{-11} em dupla precisão; mitigar usando double, trabalhar com pressões relativas/perturbações, reescalonamento/não-dimensionalização e técnicas de pré-condicionamento em CFD.

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