A frequência natural é
. Dados
erro),
(
erro).
- Estime a incerteza relativa em
.
- Discuta impacto em vibrações estruturais.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Estimar a incerteza relativa em
. - Discutir o impacto dessa incerteza em vibrações estruturais.
As informações fornecidas são:
e a fórmula que relaciona essas grandezas:
Passo 2
Entendendo o que significa “incerteza relativa”: a incerteza relativa de uma grandeza
é
, onde
é a incerteza absoluta. Quando temos uma função de várias grandezas, usamos propagação de incerteza para estimar a incerteza relativa da função. Aqui queremos
.
Passo 3
Derivação da fórmula de propagação (a forma mais simples e precisa para potências):
escrevemos como potências de
e
:
escrevemos
Tomando logaritmo (isso facilita a propagação):
Para incertezas pequenas e assumindo
e
independentes, as variações relativas se combinam quadraticamente (erro quadrático médio), porque as derivadas parciais de
em relação a
e
são constantes. Isso leva à fórmula:
Como o sinal na segunda parcela é ao quadrado, podemos escrever sem o sinal negativo:
Explicando a fórmula em palavras: a sensibilidade de
a
e a
é de meio expoente (porque é raiz quadrada), então as incertezas relativas de
e
entram com um fator
; como as incertezas são independentes, somam-se em quadratura (raiz da soma dos quadrados).
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos das incertezas relativas fornecidas:
Aplicando na fórmula:
Passo 5
Calcule passo a passo a raiz:
Multiplicando por
:
Passo 6
Converter para porcentagem (multiplicar por
):
Arredondando razoavelmente, podemos dizer
.
Passo 7
Comentário sobre contributos e alternativa conservadora:
- Como
é e é , o termo dominante é o de . Ou seja, reduzir a incerteza em traz mais ganho na precisão de . - Se quiséssemos uma estimativa conservadora (caso de erros sistemáticos que se somam no pior sinal), uma borda superior simples seria somar os efeitos com sinal (não RMS):
Mas para incertezas estatísticas independentes a regra em quadratura (o resultado ~
) é a apropriada.
Passo 8
Discussão do impacto em vibrações estruturais (didática e prática):
- O valor
é pequeno em termos absolutos: significa que a frequência natural prevista tem precisão de meia porcentagem. - Por que isso importa? Em problemas de vibração, principalmente quando há excitação harmônica externa (forças periódicas), o perigo é a ressonância: se a frequência de excitação coincide com a frequência natural, a amplitude da resposta pode aumentar muito. Logo, um erro em
pode levar a subestimar ou superestimar a proximidade à ressonância. - Quando o sistema está longe das frequências de excitação esperadas, uma incerteza de
normalmente não muda decisões de projeto. Mas quando a frequência de excitação está muito próxima da frequência natural (diferença menor que alguns por cento), mesmo uma incerteza de pode ser crítica: pode tornar a estrutura vulnerável à ressonância inesperada. - Medidas práticas: se o projeto tem margem confortável (por exemplo, distância de várias porcentagens entre
e frequências de carga), então a incerteza estimada é aceitável. Se não há margem (proximidade ≤ 1 %–2 %), deve-se reduzir incertezas (melhorar medição de , caracterização da massa, ou introduzir amortecimento/design que desloque ou aumente tolerância). - Observação adicional: amortecimento estrutural reduz a sensibilidade prática à coincidência exata de frequências; porém a localização das máximas ainda depende de
, então precisão continua relevante.
Resposta
Impacto: incerteza relativa