A frequência natural é \omega_{n}=\sqrt{k / m}. Dados k=2,00 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}(1 \% erro), m=50,0 \mathrm{~kg} ( 0,1 \% erro).
  1. Estime a incerteza relativa em \omega_{n}.
  2. Discuta impacto em vibrações estruturais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Estimar a incerteza relativa em \omega_{n}.
  2. Discutir o impacto dessa incerteza em vibrações estruturais.
As informações fornecidas são:
k = 2,00 \times 10^{5}\\ \mathrm{N/m}\quad(\text{incerteza relativa }1\%)
m = 50,0\\ \mathrm{kg}\quad(\text{incerteza relativa }0{,}1\%)
e a fórmula que relaciona essas grandezas:
\omega_{n} = \sqrt{\dfrac{k}{m}}.

Passo 2

Entendendo o que significa “incerteza relativa”: a incerteza relativa de uma grandeza x é \dfrac{\Delta x}{x}, onde \Delta x é a incerteza absoluta. Quando temos uma função de várias grandezas, usamos propagação de incerteza para estimar a incerteza relativa da função. Aqui queremos \dfrac{\Delta\omega_{n}}{\omega_{n}}.

Passo 3

Derivação da fórmula de propagação (a forma mais simples e precisa para potências):
escrevemos \omega_{n} como potências de k e m:
\omega_{n} = k^{1/2} m^{-1/2}.
Tomando logaritmo (isso facilita a propagação):
\ln \omega_{n} = \tfrac{1}{2}\ln k - \tfrac{1}{2}\ln m.
Para incertezas pequenas e assumindo k e m independentes, as variações relativas se combinam quadraticamente (erro quadrático médio), porque as derivadas parciais de \ln\omega_{n} em relação a \ln k e \ln m são constantes. Isso leva à fórmula:
\frac{\Delta\omega_{n}}{\omega_{n}} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\frac{\Delta k}{k}\right)^{2} + \left(-\frac{1}{2}\frac{\Delta m}{m}\right)^{2}}.
Como o sinal na segunda parcela é ao quadrado, podemos escrever sem o sinal negativo:
\frac{\Delta\omega_{n}}{\omega_{n}} = \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{\Delta k}{k}\right)^{2} + \left(\frac{\Delta m}{m}\right)^{2}}.
Explicando a fórmula em palavras: a sensibilidade de \omega_{n} a k e a m é de meio expoente (porque é raiz quadrada), então as incertezas relativas de k e m entram com um fator 1/2; como as incertezas são independentes, somam-se em quadratura (raiz da soma dos quadrados).

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos das incertezas relativas fornecidas:
\frac{\Delta k}{k} = 1\% = 0{,}01, \qquad \frac{\Delta m}{m} = 0{,}1\% = 0{,}001.
Aplicando na fórmula:
\frac{\Delta\omega_{n}}{\omega_{n}} = \frac{1}{2}\sqrt{(0{,}01)^{2} + (0{,}001)^{2}}.

Passo 5

Calcule passo a passo a raiz:
(0{,}01)^{2} = 1{,}00\times 10^{-4}, \qquad (0{,}001)^{2} = 1{,}00\times 10^{-6}.
(0{,}01)^{2} + (0{,}001)^{2} = 1{,}01\times 10^{-4}.
\sqrt{1{,}01\times 10^{-4}} = \sqrt{1{,}01}\times 10^{-2} \approx 1{,}0049875\times 10^{-2}.
Multiplicando por 1/2:
\frac{\Delta\omega_{n}}{\omega_{n}} \approx \tfrac{1}{2}\times 0{,}010049875 \approx 0{,}00502494.

Passo 6

Converter para porcentagem (multiplicar por 100\%):
\frac{\Delta\omega_{n}}{\omega_{n}} \approx 0{,}502\%.
Arredondando razoavelmente, podemos dizer \approx 0{,}50\%.

Passo 7

Comentário sobre contributos e alternativa conservadora:
  • Como \Delta k/k é 1\% e \Delta m/m é 0{,}1\%, o termo dominante é o de k. Ou seja, reduzir a incerteza em k traz mais ganho na precisão de \omega_{n}.
  • Se quiséssemos uma estimativa conservadora (caso de erros sistemáticos que se somam no pior sinal), uma borda superior simples seria somar os efeitos com sinal (não RMS):
\left(\frac{\Delta\omega_{n}}{\omega_{n}}\right)_{\text{máx}} \approx \frac{1}{2}\left(\frac{\Delta k}{k} + \frac{\Delta m}{m}\right) = \tfrac{1}{2}(0{,}01+0{,}001)=0{,}0055=0{,}55\%.á
Mas para incertezas estatísticas independentes a regra em quadratura (o resultado ~ 0{,}502\%) é a apropriada.

Passo 8

Discussão do impacto em vibrações estruturais (didática e prática):
  • O valor \approx 0{,}50\% é pequeno em termos absolutos: significa que a frequência natural prevista tem precisão de meia porcentagem.
  • Por que isso importa? Em problemas de vibração, principalmente quando há excitação harmônica externa (forças periódicas), o perigo é a ressonância: se a frequência de excitação coincide com a frequência natural, a amplitude da resposta pode aumentar muito. Logo, um erro em \omega_{n} pode levar a subestimar ou superestimar a proximidade à ressonância.
  • Quando o sistema está longe das frequências de excitação esperadas, uma incerteza de 0{,}5\% normalmente não muda decisões de projeto. Mas quando a frequência de excitação está muito próxima da frequência natural (diferença menor que alguns por cento), mesmo uma incerteza de 0{,}5\% pode ser crítica: pode tornar a estrutura vulnerável à ressonância inesperada.
  • Medidas práticas: se o projeto tem margem confortável (por exemplo, distância de várias porcentagens entre \omega_{n} e frequências de carga), então a incerteza estimada é aceitável. Se não há margem (proximidade ≤ 1 %–2 %), deve-se reduzir incertezas (melhorar medição de k, caracterização da massa, ou introduzir amortecimento/design que desloque \omega_{n} ou aumente tolerância).
  • Observação adicional: amortecimento estrutural reduz a sensibilidade prática à coincidência exata de frequências; porém a localização das máximas ainda depende de \omega_{n}, então precisão continua relevante.

Resposta

\displaystyle \frac{\Delta\omega_{n}}{\omega_{n}} \approx 0{,}502\%
Impacto: incerteza relativa \approx 0{,}5\% é pequena; geralmente aceitável, mas pode ser crítica se a frequência de excitação estiver muito próxima de \omega_{n}. Em tal caso, recomenda-se reduzir a incerteza (principalmente de k) ou aumentar margem/amortecimento para evitar ressonância.

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