Uma barra não homogênea de comprimento
tem densidade linear (massa por unidade de comprimento) dada pela função
onde
é uma grandeza com dimensão de massa e
é a distância medida ao longo da barra a partir de uma de suas extremidades. Calcule o momento de inércia para rotações em torno de um eixo perpendicular à barra que passa pela extremidade $x=0.
Passo 1
O enunciado dá uma barra de comprimento
com densidade linear variável
e pede o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular à barra que passa por
.
Para isso vamos usar a definição
Para isso vamos usar a definição
adaptada para uma barra unidimensional, onde
e
.
Passo 2
Substituindo
em
, obtemos
Passo 3
Agora inserimos a expressão de
:
Como
é constante, podemos fatorá-lo:
Passo 4
Calculamos as integrais separadamente:
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Passo 5
Somando as frações
concluímos que