Uma barra não homogênea de comprimento L tem densidade linear (massa por unidade de comprimento) dada pela função
lambda(x)=ML(1+xL),
onde M é uma grandeza com dimensão de massa e x é a distância medida ao longo da barra a partir de uma de suas extremidades. Calcule o momento de inércia para rotações em torno de um eixo perpendicular à barra que passa pela extremidade $x=0.

Passo 1

O enunciado dá uma barra de comprimento L com densidade linear variável
lambda(x)=MLl(1+xLr)
e pede o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular à barra que passa por x=0.
Para isso vamos usar a definição
I=integral r^2,dm
adaptada para uma barra unidimensional, onde r=x e dm=lambda(x),dx.

Passo 2

Substituindo dm=lambda(x),dx em I=integral0^L x^2,dm, obtemos
I=integral0^L x^2,lambda(x),dx

Passo 3

Agora inserimos a expressão de lambda(x):
I=integral0^L x^2;MLl(1+xLr),dx
Como M/L é constante, podemos fatorá-lo:
I=MLintegral0^Ll(x^2+x^3Lr),dx

Passo 4

Calculamos as integrais separadamente:
integral0^L x^2,dx=L^33, integral0^L x^3,dx=L^44
Logo
I=MLl(L^33 + 1L,L^44r) =MLl(L^33 + L^34r) = M L^2l(13+14r)

Passo 5

Somando as frações
13+14=4+312=712,
concluímos que
I=712,M,L^2

Resposta

I=712,M,L^2

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