Problema 2

Dada a função f(x)=x^3, com x pertencente aos números reais:
  • Encontre a equação da reta tangente em x1=6,4;
  • Encontre a equação da reta tangente em x2=-5,24;
  • Faça o gráfico das três funções: f(x)=x^3, a reta tangente em x1 e a reta tangente em x2.
Utilize qualquer aplicativo para gerar o gráfico. Há opções disponíveis gratuitamente para Android e iOS. Soluções a caneta azul ou preta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x) = x^3 e precisamos encontrar as equações das retas tangentes nos pontos onde x1 = 6,4 e x2 = -5,24 . Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função f(x) = x^3 . A derivada, denotada por f'(x) , nos dá a inclinação da reta que toca a curva naquele ponto específico.
A derivada de x^n é n cdot x^n-1 . Então, aplicando isso:
f'(x) = 3x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto x1 = 6,4 . Substituímos x1 na derivada:
f'(6,4) = 3 cdot (6,4)^2
f'(6,4) = 3 cdot 40,96 = 122,88
Então, a inclinação da reta tangente em x1 = 6,4 é 122,88 .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o valor da função em x1 = 6,4 :
f(6,4) = (6,4)^3 = 262,144
Agora, usamos a fórmula da equação da reta tangente:
y = f(a) + f'(a)(x - a)
Substituindo a = 6,4 :
y = 262,144 + 122,88(x - 6,4)
y = 122,88x - 524,288
Então, a equação da reta tangente em x1 = 6,4 é:
y = 122,88x - 524,288

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para x2 = -5,24 . Primeiro, calculamos a inclinação da reta tangente:
f'(-5,24) = 3 cdot (-5,24)^2 = 3 cdot 27,4576 = 82,3728
Então, a inclinação é 82,3728 .

Passo 6

Em seguida, calculamos o valor da função em x2 = -5,24 :
f(-5,24) = (-5,24)^3 = -143,877824
Usando a fórmula da reta tangente:
y = -143,877824 + 82,3728(x - (-5,24))
y = 82,3728x + 287,755648
Então, a equação da reta tangente em x2 = -5,24 é:
y = 82,3728x + 287,755648

Resposta

As equações das retas tangentes são:
  • No ponto x1 = 6,4 :
y = 122,88x - 524,288
  • No ponto x2 = -5,24 :
y = 82,3728x + 287,755648
Lembre-se de usar um aplicativo para plotar as três funções: f(x) = x^3 , a reta tangente em x1 = 6,4 e a reta tangente em x2 = -5,24 . Isso vai te ajudar a visualizar como as retas tocam a curva nos pontos especificados!

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