Problema 2
Dada a função
, com
pertencente aos números reais:
- Encontre a equação da reta tangente em
;
- Encontre a equação da reta tangente em
;
- Faça o gráfico das três funções:
, a reta tangente em
e a reta tangente em
.
Utilize qualquer aplicativo para gerar o gráfico. Há opções disponíveis gratuitamente para Android e iOS. Soluções a caneta azul ou preta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos encontrar as equações das retas tangentes nos pontos onde
e
. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
. A derivada, denotada por
, nos dá a inclinação da reta que toca a curva naquele ponto específico.
A derivada de
é
. Então, aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o valor da função em
:
Agora, usamos a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo
:
Então, a equação da reta tangente em
é:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Primeiro, calculamos a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação é
.
Passo 6
Em seguida, calculamos o valor da função em
:
Usando a fórmula da reta tangente:
Então, a equação da reta tangente em
é:
Resposta
As equações das retas tangentes são:
- No ponto
:
- No ponto
:
Lembre-se de usar um aplicativo para plotar as três funções:
, a reta tangente em
e a reta tangente em
. Isso vai te ajudar a visualizar como as retas tocam a curva nos pontos especificados!