Uma barra de plástico tem a forma de uma circunferência de raio
. A barra possui uma carga
uniformemente distribuída ao longo de um quarto de circunferência e uma carga
distribuída uniformemente ao longo do resto da circunferência. Considere
no infinito.
Demonstre a expressão para o potencial elétrico no centro de um arco de circunferência.
Demonstre a expressão para o potencial elétrico no centro de um arco de circunferência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! O que a gente tem aqui é uma barra de plástico em forma de circunferência com raio $ R = 8,20 \ cm $. Essa barra tem duas cargas distribuídas de forma diferente: uma carga positiva $ Q_1 = +2,10 \ nC $ distribuída uniformemente em um quarto da circunferência, e uma carga negativa $ Q_2 = -6Q_1 = -12,60 \ nC $ distribuída no restante da circunferência. A gente precisa encontrar a expressão do potencial elétrico no centro dessa barra. Para isso, vamos usar conceitos de potencial elétrico devido a cargas distribuídas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ em um ponto devido a uma carga $ Q $ é dado por:
onde:
- $ k = 9,0 \times 10^9 \ N·m2/\text{C}2 $ é a constante eletrostática,
- $ Q $ é a carga,
- $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Como as cargas estão distribuídas ao longo de uma circunferência e a gente quer o potencial no centro, todas as partes das cargas estão a uma distância igual $ R $ do centro.
Passo 3
Vamos calcular o potencial elétrico devido à carga $ Q_1 $ no centro. Como $ Q_1 $ está distribuída em um quarto da circunferência, a contribuição total de potencial dela será:
Isso porque o potencial causado por distribuidores contínuos de carga, quando a distância é constante, é igual ao potencial de uma carga equivalente total.
Passo 4
Agora, vamos calcular o potencial elétrico devido à carga $ Q_2 = -6Q_1 $ no centro. Essa carga está distribuída nos $ 3/4 $ restantes da circunferência, mas, novamente, como a distância é sempre $ R $, a contribuição total dela será:
Passo 5
O potencial total $ V $ no centro da circunferência é a soma das contribuições das duas cargas:
Resposta
A expressão para o potencial elétrico no centro da circunferência é: