Uma barra de plástico tem a forma de uma circunferência de raio R=8,20 cm. A barra possui uma carga Q1=+2,10 nC uniformemente distribuída ao longo de um quarto de circunferência e uma carga Q2=-6 Q1 distribuída uniformemente ao longo do resto da circunferência. Considere V=0 no infinito.
Demonstre a expressão para o potencial elétrico no centro de um arco de circunferência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! O que a gente tem aqui é uma barra de plástico em forma de circunferência com raio $ R = 8,20 \ cm $. Essa barra tem duas cargas distribuídas de forma diferente: uma carga positiva $ Q_1 = +2,10 \ nC $ distribuída uniformemente em um quarto da circunferência, e uma carga negativa $ Q_2 = -6Q_1 = -12,60 \ nC $ distribuída no restante da circunferência. A gente precisa encontrar a expressão do potencial elétrico no centro dessa barra. Para isso, vamos usar conceitos de potencial elétrico devido a cargas distribuídas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ em um ponto devido a uma carga $ Q $ é dado por:
V
onde:
  • $ k = 9,0 \times 10^9 \ N·m2/\text{C}2 $ é a constante eletrostática,
  • $ Q $ é a carga,
  • $ r $ é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
Como as cargas estão distribuídas ao longo de uma circunferência e a gente quer o potencial no centro, todas as partes das cargas estão a uma distância igual $ R $ do centro.

Passo 3

Vamos calcular o potencial elétrico devido à carga $ Q_1 $ no centro. Como $ Q_1 $ está distribuída em um quarto da circunferência, a contribuição total de potencial dela será:
Q1
Isso porque o potencial causado por distribuidores contínuos de carga, quando a distância é constante, é igual ao potencial de uma carga equivalente total.

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial elétrico devido à carga $ Q_2 = -6Q_1 $ no centro. Essa carga está distribuída nos $ 3/4 $ restantes da circunferência, mas, novamente, como a distância é sempre $ R $, a contribuição total dela será:
Q2 = -6Q1

Passo 5

O potencial total $ V $ no centro da circunferência é a soma das contribuições das duas cargas:
V
V = V1 + V2 = kQ1R + k(-6Q1)R

Resposta

A expressão para o potencial elétrico no centro da circunferência é:
V = -5kQ1R

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