Uma barra retangular horizontal, apoiada em ambas as extremidades, arqueará quando submetida a uma carga uniforme (peso constante por unidade de comprimento). A quantidade S do arqueamento é calculada com a fórmula
S=C \frac{p x^{4}}{w h^{3}},
onde p é a carga (em N / m de comprimento da barra), x o comprimento entre os apoios, w a largura da barra (em metros), h a altura da barra e C uma constante que depende das unidades de medida e do material do qual a barra é feita. Sabemos que a diferencial total da função S (que tem 4 variáveis) é
d S=S_{p} d p+S_{s} d x+S_{w} d w+S_{h} d h
Determine d S para uma barra de 4 m de comprimento, 10 cm de largura e 20 cm de altura, que é submetida a uma carga de 100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Quais as conclusões podem ser tiradas sobre a barra a partir da expressão para d S ? Note que d S fornece a variação do quanto a viga arqueará, em função das variações do peso d p, da altura da viga d h \cdots.

Passo 1

O enunciado nos dá a deflexão (arqueamento)
S = C\,\frac{p\,x^{4}}{w\,h^{3}}
e pede a diferencial total
dS = S_{p}\,dp + S_{x}\,dx + S_{w}\,dw + S_{h}\,dh
para x=4 m, w=0,10 m, h=0,20 m e p=100 N/m. Vamos usar o cálculo de derivadas parciais e depois avaliar os coeficientes numericamente.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de S:
S_{p} = \frac{\partial}{\partial p}\Bigl(C\frac{p\,x^{4}}{w\,h^{3}}\Bigr) = C\,\frac{x^{4}}{w\,h^{3}},
S_{x} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(C\frac{p\,x^{4}}{w\,h^{3}}\Bigr) = C\,\frac{p\cdot 4x^{3}}{w\,h^{3}} = 4C\,\frac{p\,x^{3}}{w\,h^{3}},
S_{w} = \frac{\partial}{\partial w}\Bigl(C\frac{p\,x^{4}}{w\,h^{3}}\Bigr) = -C\,\frac{p\,x^{4}}{w^{2}\,h^{3}},
S_{h} = \frac{\partial}{\partial h}\Bigl(C\frac{p\,x^{4}}{w\,h^{3}}\Bigr) = -C\,\frac{3\,p\,x^{4}}{w\,h^{4}}.

Passo 3

Agora avalie x^{4}, h^{3} e o denominador w\,h^{3}:
x^{4} = 4^{4} = 256,\quad h^{3} = (0,20)^{3} = 0,008,\quad w\,h^{3} = 0,10 \times 0,008 = 0,0008.
Com isso:
\frac{x^{4}}{w\,h^{3}} = \frac{256}{0,0008} = 320000,
\frac{p\,x^{3}}{w\,h^{3}} = \frac{100 \times 64}{0,0008} = \frac{6400}{0,0008} = 8\,000\,000,
\frac{p\,x^{4}}{w^{2}\,h^{3}} = \frac{100 \times 256}{(0,10)^{2}\,0,008} = \frac{25600}{0,00008} = 320\,000\,000,
\frac{p\,x^{4}}{w\,h^{4}} = \frac{100 \times 256}{0,10 \times (0,20)^{4}} = \frac{25600}{0,10 \times 0,0016} = \frac{25600}{0,00016} = 160\,000\,000.

Passo 4

Substituindo em cada derivada parcial:
S_{p} = 320000\,C,\quad S_{x} = 4\,C \times 8\,000\,000 = 32\,000\,000\,C,
S_{w} = -320\,000\,000\,C,\quad S_{h} = -3\,C \times 160\,000\,000 = -480\,000\,000\,C.
Portanto a diferencial total é
dS = 320000\,C\,dp + 32\,000\,000\,C\,dx - 320\,000\,000\,C\,dw - 480\,000\,000\,C\,dh.

Passo 5

Conclusões a partir de dS:
  • dp e dx aparecem com coeficiente positivo, logo aumentar a carga p ou o vão x aumenta o arqueamento S.
  • dw e dh aparecem com coeficiente negativo, logo aumentar a largura w ou a altura h diminui o arqueamento.
  • O coeficiente associado a dh 480\times10^{6}C é maior do que o de dw 320\times10^{6}C, mostrando que um mesmo incremento em h reduz S mais efetivamente do que o mesmo incremento em w.

Resposta

\boxed{ dS = 320000\,C\,dp +32\,000\,000\,C\,dx -320\,000\,000\,C\,dw -480\,000\,000\,C\,dh. }
A partir dessa expressão vemos que aumentar carga ou vão piora o arqueamento, enquanto aumentar largura ou sobretudo altura da barra reduz significativamente o arqueamento.

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