Uma barra retangular horizontal, apoiada em ambas as extremidades, arqueará quando submetida a uma carga uniforme (peso constante por unidade de comprimento). A quantidade
do arqueamento é calculada com a fórmula
onde
é a carga (em
de comprimento da barra),
o comprimento entre os apoios,
a largura da barra (em metros),
a altura da barra e
uma constante que depende das unidades de medida e do material do qual a barra é feita. Sabemos que a diferencial total da função
(que tem 4 variáveis) é
Determine
para uma barra de
de comprimento, 10 cm de largura e 20 cm de altura, que é submetida a uma carga de
. Quais as conclusões podem ser tiradas sobre a barra a partir da expressão para
? Note que
fornece a variação do quanto a viga arqueará, em função das variações do peso
, da altura da viga
.
Passo 1
O enunciado nos dá a deflexão (arqueamento)
e pede a diferencial total
para
m,
m,
m e
N/m. Vamos usar o cálculo de derivadas parciais e depois avaliar os coeficientes numericamente.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Agora avalie
,
e o denominador
:
Com isso:
Passo 4
Substituindo em cada derivada parcial:
Portanto a diferencial total é
Passo 5
Conclusões a partir de
:
-
e aparecem com coeficiente positivo, logo aumentar a carga ou o vão aumenta o arqueamento . -
e aparecem com coeficiente negativo, logo aumentar a largura ou a altura diminui o arqueamento. - O coeficiente associado a
é maior do que o de , mostrando que um mesmo incremento em reduz mais efetivamente do que o mesmo incremento em .
Resposta
A partir dessa expressão vemos que aumentar carga ou vão piora o arqueamento, enquanto aumentar largura ou sobretudo altura da barra reduz significativamente o arqueamento.