Determine a equação da reta tangente à curva de interseção das superfícies x^{2}+y^{2}-z=8 e x-y^{2}+z^{2}=-2 no ponto (2,-2,0).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva de interseção de duas superfícies no ponto (2,-2,0). O conteúdo principal é geometria vetorial: vamos usar o gradiente de cada superfície para obter normas às tangentes e, em seguida, cruzar esses vetores para achar a direção da reta.

Passo 2

Definimos as superfícies por
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z-8=0,
g(x,y,z)=x-y^{2}+z^{2}+2=0.
O gradiente de cada uma é dado por
\nabla f(x,y,z)=(2x,\;2y,\;-1),
\nabla g(x,y,z)=(1,\;-2y,\;2z).

Passo 3

Avaliamo-los no ponto (2,-2,0):
\nabla f(2,-2,0)=(2\cdot2,\;2\cdot(-2),\;-1)=(4,\,-4,\,-1),
\nabla g(2,-2,0)=(1,\;-2\cdot(-2),\;2\cdot0)=(1,\;4,\;0).

Passo 4

A direção da reta tangente é ortogonal a ambos os gradientes, logo podemos tomar o produto vetorial
v=\nabla f(2,-2,0)\times\nabla g(2,-2,0).
Calculando
v=\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 4&-4&-1\\\\ 1&4&0 \end{vmatrix} =(4)\,\mathbf{i}- (1)\,\mathbf{j}+ (20)\,\mathbf{k}=(4,\,-1,\,20).

Passo 5

Montamos a reta tangente em forma paramétrica a partir de (2,-2,0) e direção v=(4,-1,20):
\begin{cases} x=2+4t,\\\ y=-2 - t,\\\ z=0+20t. \end{cases}

Resposta

\displaystyle x=2+4t,\quad y=-2 - t,\quad z=20t
ou, de forma simétrica,
\frac{x-2}{4}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{20}.

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