(2,5 pontos) Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da função
dada por
Passo 1
O enunciado pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função
Este exercício envolve dois tópicos principais:
- curvas de nível de funções de duas variáveis,
- interpretação geométrica de superfícies em
.
Passo 2
Para obter as curvas de nível, fixamos um valor
para
e resolvemos
Isso mostra que, para cada
, a curva de nível é um círculo de centro
e raio
Passo 3
O parâmetro
deve satisfazer
, ou seja,
. Vamos escolher valores representativos:
Passo 4
No plano
, esboçamos círculos concêntricos centrados em
com raios
.
À medida que cresce (isto é, subimos em
), o raio do círculo diminui até colapsar no ponto quando
.
À medida que
Passo 5
Para o gráfico em
, note que
depende apenas de
. Assim, a superfície é um paraboloide elíptico circular invertido, com:
- vértice em
, - abertura para baixo,
- intercepto com o plano
dado por .
Passo 6
Podemos confirmar vendo cortes em planos coordenados:
- em
, é uma parábola invertida de vértice ; - em
, é outra parábola invertida de vértice .
Unindo esses cortes e as curvas de nível anteriores, obtemos o esboço de um paraboloide circular invertido.
Resposta
As curvas de nível de
são círculos
com raios
. Exemplos:
O gráfico tridimensional é um paraboloide circular invertido, vértice em
, que se abre para baixo e intercepta o plano
no círculo
.