(2,5 pontos) Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da função z=f(x, y) dada por
z=8-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função
z = f(x,y) = 8 - x^2 - y^2.
Este exercício envolve dois tópicos principais:
  1. curvas de nível de funções de duas variáveis,
  2. interpretação geométrica de superfícies em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para obter as curvas de nível, fixamos um valor c para z e resolvemos
f(x,y)=c \quad\Longrightarrow\quad 8 - x^2 - y^2 = c \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = 8 - c.
Isso mostra que, para cada c\le8, a curva de nível é um círculo de centro (0,0) e raio
r = \sqrt{8 - c}.

Passo 3

O parâmetro c deve satisfazer 8-c\ge0, ou seja, c\le8. Vamos escolher valores representativos:
\begin{aligned} c &= 8 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2 = 0\quad(\text{ponto }(0,0)),\\\ c &= 7 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2 = 1\quad(\text{raio }1),\\\ c &= 4 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2 = 4\quad(\text{raio }2),\\\ c &= 0 \quad\Rightarrow\quad x^2+y^2 = 8\quad(\text{raio }2\sqrt{2}). \end{aligned}

Passo 4

No plano xy, esboçamos círculos concêntricos centrados em (0,0) com raios \sqrt{8-c}.
À medida que c cresce (isto é, subimos em z), o raio do círculo diminui até colapsar no ponto quando c=8.

Passo 5

Para o gráfico em \mathbb{R}^3, note que f depende apenas de r^2 = x^2+y^2. Assim, a superfície é um paraboloide elíptico circular invertido, com:
  • vértice em (0,0,8),
  • abertura para baixo,
  • intercepto com o plano z=0 dado por x^2+y^2=8.

Passo 6

Podemos confirmar vendo cortes em planos coordenados:
  • em y=0, z=8 - x^2 é uma parábola invertida de vértice (0,8);
  • em x=0, z=8 - y^2 é outra parábola invertida de vértice (0,8).
    Unindo esses cortes e as curvas de nível anteriores, obtemos o esboço de um paraboloide circular invertido.

Resposta

As curvas de nível de \,z=8-x^2-y^2 são círculos
x^2+y^2 = 8 - c,\quad c\le8,
com raios \sqrt{8-c}. Exemplos:
\begin{aligned} c=8\;&:\;x^2+y^2=0,\\\ c=7\;&:\;x^2+y^2=1,\\\ c=4\;&:\;x^2+y^2=4,\\\ c=0\;&:\;x^2+y^2=8. \end{aligned}
O gráfico tridimensional é um paraboloide circular invertido, vértice em (0,0,8), que se abre para baixo e intercepta o plano z=0 no círculo x^2+y^2=8.

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