1.1 (2,0 pts)

Resolva a seguinte equação diferencial linear de segunda ordem homogênea:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0
(a) Encontre a solução geral.
(b) Determine a solução particular que satisfaz as condições iniciais: y(0)=2, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' - 4y' + 5y = 0
O conteúdo envolve equações com coeficientes constantes: vamos usar a equação característica para obter a solução geral.

Passo 2

Montamos a equação característica
r^2 - 4r + 5 = 0
Resolvendo-a,
r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = 2 \pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas 2 \pm i, a solução geral é
y(x) = e^{2x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr).

Passo 3

Para determinar C_{1} e C_{2}, calculamos a derivada
y'(x) = e^{2x}\bigl(2(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x) +(-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x)\bigr) = e^{2x}\bigl((2C_{1}+C_{2})\cos x + (2C_{2}-C_{1})\sin x\bigr).
As condições iniciais são y(0)=2 e y'(0)=0. Avaliando em x=0:
y(0)=C_{1}=2,
y'(0)=2C_{1}+C_{2}=0\implies 2\cdot2 + C_{2}=0\implies C_{2}=-4.

Passo 4

Substituindo C_{1}=2 e C_{2}=-4 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x) = e^{2x}\bigl(2\cos x - 4\sin x\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle y(x) = e^{2x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr).
(b) \displaystyle y(x) = e^{2x}\bigl(2\cos x - 4\sin x\bigr).

Exercícios relacionados