Exercício 1. (4,0 Pontos) Calcule as seguintes integrais.
int_{1}^{4} \frac{1}{(x+1) \sqrt{x}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{4} \frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}\,dx.
O conteúdo aqui é mudança de variável, escolhendo uma substituição que simplifique o denominador com raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x},\quad x = t^2,\quad dx = 2t\,dt.
Quando x=1, temos t=1; quando x=4, temos t=2. Logo
\int_{1}^{4} \frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}\,dx = \int_{t=1}^{2} \frac{1}{(t^2+1)\,t}\,(2t\,dt).

Passo 3

No integrando, o fator t no numerador e no denominador se cancelam, restando
\int_{1}^{2} \frac{2}{t^2+1}\,dt.
Sabemos que
\int \frac{2}{t^2+1}\,dt = 2\arctan(t) + C.

Passo 4

Agora avaliamos de t=1 a t=2:
\left.2\arctan(t)\right|_{1}^{2} =2\arctan(2)-2\arctan(1) =2\arctan(2)-2\cdot\frac{\pi}{4} =2\arctan(2)-\frac{\pi}{2}.

Resposta

\int_{1}^{4} \frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}\,dx =2\arctan(2)-\frac{\pi}{2}.

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