Uma barra rígida está fixada na origem do sistema cartesiano. Uma força
(em Newtons) é aplicada no ponto de posição
(em metros).
(a) Calcule o torque exercido pela força em relação à origem.
(b) Determine o módulo do torque.
(c) Determine a componente do torque na direção do vetor unitário
.
(a) Calcule o torque exercido pela força em relação à origem.
(b) Determine o módulo do torque.
(c) Determine a componente do torque na direção do vetor unitário
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as três coisas abaixo.
Dados:
- A força aplicada é
(em N). - O ponto de aplicação tem posição
(em m). - O vetor unitário pedido é
.
Perguntas:
(a) Calcular o torque (momento) da força em relação à origem — isto é, .
(b) Calcular o módulo de , isto é
.
(c) Determinar a componente de na direção de
(a projeção/scalar de
sobre
).
(a) Calcular o torque (momento) da força em relação à origem — isto é,
(b) Calcular o módulo de
(c) Determinar a componente de
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- O torque (momento) de uma força em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição
(do ponto de referência até o ponto de aplicação da força) e a força :
- O produto vetorial entre dois vetores em
gera um vetor perpendicular aos dois, cujas componentes podem ser calculadas por determinante ou pelas fórmulas:
- Unidade: como
está em metros e em newtons, o torque terá unidades de newton·metro (N·m).
Vou aplicar essas fórmulas diretamente com os componentes dados.
Passo 3
Aplicando as fórmulas componente a componente com
e
:
Cálculo da componente
:
Cálculo da componente
:
Cálculo da componente
:
Passo 4
Resultado do item (a): o vetor torque é a junção das componentes calculadas:
Como checagem rápida (propriedade do produto vetorial):
deve ser zero. Calculando:
o que confirma que
é perpendicular a
— bom sinal de que os cálculos estão consistentes.
Passo 5
Agora o item (b): módulo do torque. Fórmula do módulo de um vetor
:
Aplicando com
,
,
:
Valor numérico aproximado (três casas decimais):
Passo 6
Finalmente o item (c): componente de
na direção do vetor unitário
.
- A componente escalar de
na direção de um vetor unitário é simplesmente o produto escalar . - Como
é unitário e vale , temos
- Com
, então a componente de na direção de é
Interpretação simples: como
aponta para o eixo
, a componente de torque nessa direção é exatamente a componente
do vetor torque.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)