Uma barra rígida está fixada na origem do sistema cartesiano. Uma força \vec{F}= (2,3,1) (em Newtons) é aplicada no ponto de posição \vec{r}=(1,-1,2) (em metros).
(a) Calcule o torque exercido pela força em relação à origem.
(b) Determine o módulo do torque.
(c) Determine a componente do torque na direção do vetor unitário \vec{k}=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as três coisas abaixo.
Dados:
  • A força aplicada é \vec{F} = (2,3,1) (em N).
  • O ponto de aplicação tem posição \vec{r} = (1,-1,2) (em m).
  • O vetor unitário pedido é \vec{k} = (0,0,1).
Perguntas:
(a) Calcular o torque (momento) da força em relação à origem — isto é, \vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}.
(b) Calcular o módulo de \vec{\tau}, isto é \|\vec{\tau}\|.
(c) Determinar a componente de \vec{\tau} na direção de \vec{k} (a projeção/scalar de \vec{\tau} sobre \vec{k}).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O torque (momento) de uma força em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição \vec{r} (do ponto de referência até o ponto de aplicação da força) e a força \vec{F}:
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
  • O produto vetorial entre dois vetores em \mathbb{R}^3 gera um vetor perpendicular aos dois, cujas componentes podem ser calculadas por determinante ou pelas fórmulas:
(\vec{r}\times\vec{F})_x = r_y F_z - r_z F_y,
(\vec{r}\times\vec{F})_y = r_z F_x - r_x F_z,
(\vec{r}\times\vec{F})_z = r_x F_y - r_y F_x.
  • Unidade: como \vec{r} está em metros e \vec{F} em newtons, o torque terá unidades de newton·metro (N·m).
    Vou aplicar essas fórmulas diretamente com os componentes dados.

Passo 3

Aplicando as fórmulas componente a componente com \vec{r}=(1,-1,2) e \vec{F}=(2,3,1):
Cálculo da componente x:
\tau_x = r_y F_z - r_z F_y = (-1)\cdot 1 - 2\cdot 3 = -1 - 6 = -7.
Cálculo da componente y:
\tau_y = r_z F_x - r_x F_z = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 4 - 1 = 3.
Cálculo da componente z:
\tau_z = r_x F_y - r_y F_x = 1\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 3 + 2 = 5.

Passo 4

Resultado do item (a): o vetor torque é a junção das componentes calculadas:
\vec{\tau} = (-7,\,3,\,5)\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Como checagem rápida (propriedade do produto vetorial): \vec{r}\cdot\vec{\tau} deve ser zero. Calculando:
\vec{r}\cdot\vec{\tau} = 1\cdot(-7) + (-1)\cdot 3 + 2\cdot 5 = -7 -3 +10 = 0,
o que confirma que \vec{\tau} é perpendicular a \vec{r} — bom sinal de que os cálculos estão consistentes.

Passo 5

Agora o item (b): módulo do torque. Fórmula do módulo de um vetor \vec{\tau}=(\tau_x,\tau_y,\tau_z):
\|\vec{\tau}\| = \sqrt{\tau_x^{2}+\tau_y^{2}+\tau_z^{2}}.
Aplicando com \tau_x=-7, \tau_y=3, \tau_z=5:
\|\vec{\tau}\| = \sqrt{(-7)^{2} + 3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{49 + 9 + 25} = \sqrt{83}.
Valor numérico aproximado (três casas decimais):
\|\vec{\tau}\|\approx 9,110\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 6

Finalmente o item (c): componente de \vec{\tau} na direção do vetor unitário \vec{k}=(0,0,1).
  • A componente escalar de \vec{\tau} na direção de um vetor unitário \hat{u} é simplesmente o produto escalar \vec{\tau}\cdot\hat{u}.
  • Como \vec{k} é unitário e vale (0,0,1), temos
\vec{\tau}\cdot\vec{k} = \tau_x\cdot 0 + \tau_y\cdot 0 + \tau_z\cdot 1 = \tau_z.
  • Com \tau_z=5, então a componente de \vec{\tau} na direção de \vec{k} é
\vec{\tau}\cdot\vec{k}=5\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Interpretação simples: como \vec{k} aponta para o eixo z, a componente de torque nessa direção é exatamente a componente z do vetor torque.

Resposta

(a) \vec{\tau}=(-7,\,3,\,5)\\ \text{N}\cdot\text{m}
(b) \|\vec{\tau}\|=\sqrt{83}\\ \text{N}\cdot\text{m}\approx 9,110\\ \text{N}\cdot\text{m}
(c) \vec{\tau}\cdot\vec{k}=5\\ \text{N}\cdot\text{m}

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