Uma partícula está sujeita a uma força variável
(em Newtons) aplicada no ponto de posição
(em metros), sendo
.
(a) Determine o vetor torque em função de
.
(b) Determine o valor de
para o qual o torque é ortogonal ao eixo
.
(a) Determine o vetor torque em função de
(b) Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo em função de
):
- Força:
(N). - Posição do ponto de aplicação:
(m).
As perguntas são:
(a) Determinar o vetor torque (momento) em função de .
(b) Determinar o(s) valor(es) de para os quais o torque é ortogonal ao eixo
.
(a) Determinar o vetor torque (momento) em função de
(b) Determinar o(s) valor(es) de
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar.
O torque (momento) em relação à origem,
, é dado pelo produto vetorial entre posição e força:
Breve explicação do produto vetorial: o produto vetorial de dois vetores em
resulta num vetor perpendicular aos dois; as componentes podem ser calculadas usando a regra das coordenadas:
então
Aqui cada símbolo representa a componente correspondente do vetor posição ou força.
Passo 3
Aplicando a fórmula às componentes dadas.
Primeiro identifiquemos as componentes de
e
:
Agora calculamos cada componente do torque usando a fórmula:
Passo 4
Juntando as componentes, o vetor torque em função de
fica:
Comentário didático: a componente
é justamente a projeção do torque sobre o eixo
. Se essa componente for zero, o torque estará totalmente no plano
, ou seja, ortogonal ao eixo
.
Passo 5
Condição de ortogonalidade ao eixo
.
O eixo
é representado pelo vetor direcional
. Um vetor é ortogonal ao eixo
quando seu produto escalar com
é zero. Para
isso dá:
Resolvendo a equação:
portanto
Resposta
(a)
(b)