Uma partícula está sujeita a uma força variável \vec{F}(t)=(1, t, 2) (em Newtons) aplicada no ponto de posição \vec{r}(t)=(t, 1,0) (em metros), sendo t \in \mathbb{R}.
(a) Determine o vetor torque em função de t.
(b) Determine o valor de t para o qual o torque é ortogonal ao eixo z.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo em função de t):
  • Força: \vec{F}(t) = (1,\, t,\, 2) (N).
  • Posição do ponto de aplicação: \vec{r}(t) = (t,\, 1,\, 0) (m).
As perguntas são:
(a) Determinar o vetor torque (momento) em função de t.
(b) Determinar o(s) valor(es) de t para os quais o torque é ortogonal ao eixo z.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar.
O torque (momento) em relação à origem, \vec{\tau}(t), é dado pelo produto vetorial entre posição e força:
\vec{\tau}(t)=\vec{r}(t)\times\vec{F}(t).
Breve explicação do produto vetorial: o produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular aos dois; as componentes podem ser calculadas usando a regra das coordenadas:
\vec{r}=(r_x,r_y,r_z),\qquad \vec{F}=(F_x,F_y,F_z)
então
\vec{r}\times\vec{F}=\big(r_y F_z - r_z F_y,\; r_z F_x - r_x F_z,\; r_x F_y - r_y F_x\big).
Aqui cada símbolo representa a componente correspondente do vetor posição ou força.

Passo 3

Aplicando a fórmula às componentes dadas.
Primeiro identifiquemos as componentes de \vec{r}(t) e \vec{F}(t):
r_x = t,\quad r_y = 1,\quad r_z = 0,
F_x = 1,\quad F_y = t,\quad F_z = 2.
Agora calculamos cada componente do torque usando a fórmula:
\tau_x = r_y F_z - r_z F_y = 1\cdot 2 - 0\cdot t = 2,
\tau_y = r_z F_x - r_x F_z = 0\cdot 1 - t\cdot 2 = -2t,
\tau_z = r_x F_y - r_y F_x = t\cdot t - 1\cdot 1 = t^2 - 1.

Passo 4

Juntando as componentes, o vetor torque em função de t fica:
\vec{\tau}(t)=\big(2,\; -2t,\; t^2-1\big).
Comentário didático: a componente \tau_z = t^2-1 é justamente a projeção do torque sobre o eixo z. Se essa componente for zero, o torque estará totalmente no plano xy, ou seja, ortogonal ao eixo z.

Passo 5

Condição de ortogonalidade ao eixo z.
O eixo z é representado pelo vetor direcional \hat{k}=(0,0,1). Um vetor é ortogonal ao eixo z quando seu produto escalar com \hat{k} é zero. Para \vec{\tau}(t) isso dá:
\vec{\tau}(t)\cdot\hat{k}=\tau_z = t^2-1 = 0.
Resolvendo a equação:
t^2-1=0 \quad\Longrightarrow\quad (t-1)(t+1)=0,
portanto
t=1 \quad\text{ou}\quad t=-1.

Resposta

(a) \vec{\tau}(t)=\big(2,\; -2t,\; t^{2}-1\big)
(b) t=\pm 1

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