Sejam \vec{a}, \vec{b} vetores não-nulos e tais que |\vec{a} \cdot \vec{b}|<\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|. Determine o vetor \vec{x}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b} sujeito às condições:
As incógnitas são os escalares \alpha e \beta. A resposta pedida é o vetor \vec{x} expresso em termos de \vec{a} e \vec{b}.
Passo 2
Relembrando conceitos básicos (passo a passo, sem pressa):
O produto escalar entre dois vetores \vec{u} e \vec{v} é um número \vec{u}\cdot\vec{v}. Ele satisfaz, entre outras, a propriedade de bilinearidade: (c\vec{u})\cdot\vec{v}=c(\vec{u}\cdot\vec{v}) e \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}.
A norma (comprimento) de \vec{u} é \|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}. Logo \|\vec{u}\|^2=\vec{u}\cdot\vec{u}.
Quando escreveremos \vec{a}\cdot\vec{b} e \|\vec{a}\|^2=\vec{a}\cdot\vec{a}, isso já é suficiente para montar equações escalares.
Passo 3
Vamos impor as condições usando \vec{x}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b} e a bilinearidade do produto escalar.
Pela desigualdade dada no enunciado |\vec{a}\cdot\vec{b}|<\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|, tem-se (\vec{a}\cdot\vec{b})^2<\|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2, logo D>0. Assim o sistema tem solução única.
Usando a regra de Cramer (ou resolvendo normalmente), obtemos:
Checagem rápida (para você ganhar confiança): fazendo o produto escalar dessa expressão com \vec{a} ou com \vec{b} e usando as propriedades bilineares retorna 1 em ambos os casos — isso confirma que os coeficientes estão corretos. A condição D>0 garante unicidade da solução.