Sejam \vec{a}, \vec{b} vetores não-nulos e tais que |\vec{a} \cdot \vec{b}|<\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|. Determine o vetor \vec{x}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b} sujeito às condições:
\vec{x} \cdot \vec{a}=1, \quad \vec{x} \cdot \vec{b}=1

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois vetores não nulos \vec{a} e \vec{b}.
  • A condição |\vec{a}\cdot\vec{b}|<\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| (isso diz algo sobre a não-colinearidade; vamos usar isso depois).
  • Queremos determinar \vec{x}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b} tais que
\vec{x}\cdot\vec{a}=1,\qquad \vec{x}\cdot\vec{b}=1.
As incógnitas são os escalares \alpha e \beta. A resposta pedida é o vetor \vec{x} expresso em termos de \vec{a} e \vec{b}.

Passo 2

Relembrando conceitos básicos (passo a passo, sem pressa):
  • O produto escalar entre dois vetores \vec{u} e \vec{v} é um número \vec{u}\cdot\vec{v}. Ele satisfaz, entre outras, a propriedade de bilinearidade: (c\vec{u})\cdot\vec{v}=c(\vec{u}\cdot\vec{v}) e \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}.
  • A norma (comprimento) de \vec{u} é \|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}. Logo \|\vec{u}\|^2=\vec{u}\cdot\vec{u}.
  • Quando escreveremos \vec{a}\cdot\vec{b} e \|\vec{a}\|^2=\vec{a}\cdot\vec{a}, isso já é suficiente para montar equações escalares.

Passo 3

Vamos impor as condições usando \vec{x}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b} e a bilinearidade do produto escalar.
Ao fazer o produto escalar com \vec{a}:
\vec{x}\cdot\vec{a}=(\alpha\vec{a}+\beta\vec{b})\cdot\vec{a} =\alpha(\vec{a}\cdot\vec{a})+\beta(\vec{b}\cdot\vec{a}) =\alpha\|\vec{a}\|^2+\beta(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Pela condição, isto deve ser 1. Portanto:
\alpha\|\vec{a}\|^2+\beta(\vec{a}\cdot\vec{b})=1.
Ao fazer o produto escalar com \vec{b}:
\vec{x}\cdot\vec{b}=(\alpha\vec{a}+\beta\vec{b})\cdot\vec{b} =\alpha(\vec{a}\cdot\vec{b})+\beta\|\vec{b}\|^2,
que também deve ser 1. Portanto:
\alpha(\vec{a}\cdot\vec{b})+\beta\|\vec{b}\|^2=1.
Temos assim um sistema linear 2×2 para \alpha e \beta:
\begin{cases} \alpha\|\vec{a}\|^2+\beta(\vec{a}\cdot\vec{b})=1,\\[4pt] \alpha(\vec{a}\cdot\vec{b})+\beta\|\vec{b}\|^2=1. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema. Escrevo simbolicamente a matriz do sistema (a chamada matriz de Gram):
\begin{pmatrix} \|\vec{a}\|^2 & \vec{a}\cdot\vec{b}\\[4pt] \vec{a}\cdot\vec{b} & \|\vec{b}\|^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
D=\|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2.
Pela desigualdade dada no enunciado |\vec{a}\cdot\vec{b}|<\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|, tem-se (\vec{a}\cdot\vec{b})^2<\|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2, logo D>0. Assim o sistema tem solução única.
Usando a regra de Cramer (ou resolvendo normalmente), obtemos:
\alpha=\frac{\begin{vmatrix}1 & \vec{a}\cdot\vec{b}\\[4pt]1 & \|\vec{b}\|^2\end{vmatrix}}{D} =\frac{\|\vec{b}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})}{D},
\beta=\frac{\begin{vmatrix}\|\vec{a}\|^2 & 1\\[4pt]\vec{a}\cdot\vec{b} & 1\end{vmatrix}}{D} =\frac{\|\vec{a}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})}{D}.]

Passo 5

Portanto o vetor \vec{x} procurado é
\vec{x}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b},
com os coeficientes encontrados. Colocando tudo junto:
\vec{x}=\frac{\|\vec{b}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})}{\|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}\,\vec{a} +\frac{\|\vec{a}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})}{\|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}\,\vec{b}.

Passo 6

Checagem rápida (para você ganhar confiança): fazendo o produto escalar dessa expressão com \vec{a} ou com \vec{b} e usando as propriedades bilineares retorna 1 em ambos os casos — isso confirma que os coeficientes estão corretos. A condição D>0 garante unicidade da solução.

Resposta

\vec{x}=\frac{\|\vec{b}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})}{\|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}\,\vec{a} +\frac{\|\vec{a}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})}{\|\vec{a}\|^2\|\vec{b}\|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}\,\vec{b}

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