Encontre um vetor unitário que forma ângulo de 60^{\circ} com o eixo x e 45^{\circ} com o eixo y.

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário que forma ângulos de 60^\circ com o eixo x e de 45^\circ com o eixo y. Dados importantes extraídos do enunciado:
  • Ângulo com o eixo x: \alpha = 60^\circ.
  • Ângulo com o eixo y: \beta = 45^\circ.
  • O vetor procurado é unitário, ou seja, tem norma igual a 1.
Observação útil: se o vetor estivesse apenas no plano xy, os ângulos com os eixos x e y precisariam somar 90^\circ. Como 60^\circ+45^\circ \neq 90^\circ, o vetor não pode ficar somente no plano xy; ele vive em \mathbb{R}^3 (tem componente no eixo z).

Passo 2

Lembrete da definição que vamos usar (aula rapidinha): para um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) e o eixo x representado pelo versor \mathbf{e}_x=(1,0,0), o cosseno do ângulo \theta entre \mathbf{v} e o eixo x é dado por
\cos\theta = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_x}{\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{e}_x\|}.
Como \|\mathbf{e}_x\|=1, isso reduz para
\cos\theta = \frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|}.
Analogamente vale para os eixos y e z. Em particular, se \mathbf{v} for unitário ( \|\mathbf{v}\|=1), cada componente é exatamente o cosseno do ângulo correspondente:
v_x=\cos\alpha,\qquad v_y=\cos\beta,\qquad v_z=\cos\gamma,
onde \gamma é o ângulo com o eixo z.

Passo 3

Aplicando isso aos ângulos fornecidos:
v_x=\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}, \qquad v_y=\cos 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Chamamos v_z de c e vamos determinar c usando a condição de ser unitário.

Passo 4

Impor norma unitária: \|\mathbf{v}\|^2 = v_x^2+v_y^2+v_z^2 = 1. Substituindo v_x e v_y:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + c^2 = 1.
Calculemos termo a termo:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4},\qquad \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}.
Somando os dois primeiros termos:
\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4}.
Então
\tfrac{3}{4} + c^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad c^2 = 1 - \tfrac{3}{4} = \tfrac{1}{4}.
Portanto
c = \pm \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Conclusão e interpretação: existem dois vetores unitários que satisfazem as condições (eles diferem apenas pelo sinal da componente z). São
\mathbf{v}=\left(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{1}{2}\right) \qquad\text{e}\qquad \mathbf{v}=\left(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,-\tfrac{1}{2}\right).
Verificação rápida (para quem faz prova): o quadrado das normas é
\left(\tfrac{1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 =\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=1,
logo ambos são unitários; e as primeiras duas componentes garantem os ângulos com x e y conforme pedido. O sinal em v_z corresponde a escolher se o ângulo com o eixo z é 60^\circ (se v_z=+\tfrac{1}{2}) ou 120^\circ (se v_z=-\tfrac{1}{2}).

Resposta

\displaystyle \left(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{1}{2}\right)
\displaystyle \left(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,-\tfrac{1}{2}\right)

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