Encontre um vetor unitário que forma ângulo de
com o eixo
e
com o eixo
.
Passo 1
O enunciado pede um vetor unitário que forma ângulos de
com o eixo
e de
com o eixo
. Dados importantes extraídos do enunciado:
- Ângulo com o eixo
: . - Ângulo com o eixo
: . - O vetor procurado é unitário, ou seja, tem norma igual a
.
Observação útil: se o vetor estivesse apenas no plano
, os ângulos com os eixos
e
precisariam somar
. Como
, o vetor não pode ficar somente no plano
; ele vive em
(tem componente no eixo
).
Passo 2
Lembrete da definição que vamos usar (aula rapidinha): para um vetor
e o eixo
representado pelo versor
, o cosseno do ângulo
entre
e o eixo
é dado por
Como
, isso reduz para
Analogamente vale para os eixos
e
. Em particular, se
for unitário (
), cada componente é exatamente o cosseno do ângulo correspondente:
onde
é o ângulo com o eixo
.
Passo 3
Aplicando isso aos ângulos fornecidos:
Chamamos
de
e vamos determinar
usando a condição de ser unitário.
Passo 4
Impor norma unitária:
. Substituindo
e
:
Calculemos termo a termo:
Somando os dois primeiros termos:
Então
Portanto
Passo 5
Conclusão e interpretação: existem dois vetores unitários que satisfazem as condições (eles diferem apenas pelo sinal da componente
). São
Verificação rápida (para quem faz prova): o quadrado das normas é
logo ambos são unitários; e as primeiras duas componentes garantem os ângulos com
e
conforme pedido. O sinal em
corresponde a escolher se o ângulo com o eixo
é
(se
) ou
(se
).