A velocidade de um fluido é \vec{v}=(4,2,1) e um tubo está orientado na direção \vec{d}=(1,0,1). Determine o módulo da componente da velocidade ao longo do tubo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
  • Vetor velocidade do fluido: \vec{v}=(4,2,1).
  • Direção do tubo: \vec{d}=(1,0,1).
  • O que é pedido: determinar o módulo da componente da velocidade ao longo do tubo — isto é, o comprimento (valor absoluto) da projeção de \vec{v} na direção de \vec{d}.

Passo 2

Conceito essencial: componente de um vetor ao longo de uma direção.
  • Se quisermos a componente de \vec{v} ao longo da direção indicada por \vec{d}, primeiro usamos o versor (vetor unitário) \hat{u} nessa direção.
  • O versor \hat{u} é \hat{u}=\dfrac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|}, onde \|\vec{d}\| é o comprimento (norma) de \vec{d}.
  • A componente escalar de \vec{v} na direção de \hat{u} é o produto escalar \vec{v}\cdot\hat{u}.
  • O módulo (valor absoluto) dessa componente é |\vec{v}\cdot\hat{u}|. Se o sinal for positivo, o módulo é igual ao próprio produto escalar.
Vou explicar o produto escalar de forma simples:
  • Para dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto escalar é \vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
  • Ele mede quanto \vec{a} “aponta” na direção de \vec{b}. Quando um dos vetores é unitário, o produto escalar dá exatamente a componente de \vec{a} nessa direção.

Passo 3

Calcular a norma de \vec{d}.
\|\vec{d}\|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}.

Passo 4

Determinar o versor na direção do tubo:
\hat{u}=\frac{\vec{d}}{\|\vec{d}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\hat{u} para obter a componente escalar de \vec{v} na direção do tubo:
\vec{v}\cdot\hat{u}=4\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+2\cdot 0+1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{4+1}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Interpretar o resultado e apresentar no formato mais usual:
  • O valor \dfrac{5}{\sqrt{2}} é positivo, então o módulo da componente (comprimento da projeção) é exatamente \dfrac{5}{\sqrt{2}}.
  • Se preferir racionalizar o denominador:
\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Forma alternativa curta (checar): usar a fórmula \text{módulo}=\dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{d}|}{\|\vec{d}\|}ó.
  • Primeiro \vec{v}\cdot\vec{d}=4\cdot1+2\cdot0+1\cdot1=5.
  • Então \dfrac{|\vec{v}\cdot\vec{d}|}{\|\vec{d}\|}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}, concordando com o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{5}{\sqrt{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}

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