A velocidade de um fluido é
e um tubo está orientado na direção
. Determine o módulo da componente da velocidade ao longo do tubo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
- Vetor velocidade do fluido:
. - Direção do tubo:
. - O que é pedido: determinar o módulo da componente da velocidade ao longo do tubo — isto é, o comprimento (valor absoluto) da projeção de
na direção de .
Passo 2
Conceito essencial: componente de um vetor ao longo de uma direção.
- Se quisermos a componente de
ao longo da direção indicada por , primeiro usamos o versor (vetor unitário) nessa direção. - O versor
é , onde é o comprimento (norma) de . - A componente escalar de
na direção de é o produto escalar . - O módulo (valor absoluto) dessa componente é
. Se o sinal for positivo, o módulo é igual ao próprio produto escalar.
Vou explicar o produto escalar de forma simples:
- Para dois vetores
e , o produto escalar é . - Ele mede quanto
“aponta” na direção de . Quando um dos vetores é unitário, o produto escalar dá exatamente a componente de nessa direção.
Passo 3
Calcular a norma de
.
Passo 4
Determinar o versor na direção do tubo:
Passo 5
Calcular o produto escalar
para obter a componente escalar de
na direção do tubo:
Passo 6
Interpretar o resultado e apresentar no formato mais usual:
- O valor
é positivo, então o módulo da componente (comprimento da projeção) é exatamente . - Se preferir racionalizar o denominador:
Passo 7
Forma alternativa curta (checar): usar a fórmula
.
- Primeiro
. - Então
, concordando com o resultado anterior.