Uma barra rígida de 2 metros de comprimento está em repouso em um referencial, formando um ângulo de 30^{\circ} com o eixo x. Essa barra é então acelerada e passa a se mover com uma velocidade de 0.8 c (onde c é a velocidade da luz no vácuo) na direção do eixo x , em relação ao referencial original.
a) Qual será o comprimento da barra medido por um observador no referencial original (em repouso)?
b) Qual será o ângulo que a barra contraída fará com o eixo x , medido por este mesmo observador?

Passo 1

O enunciado nos diz que uma barra rígida de comprimento próprio L_{0}=2\\ \mathrm{m} está em repouso num referencial no qual forma um ângulo de 30^{\circ} com o eixo x. Depois, essa barra passa a mover-se com velocidade v=0{,}8\,c ao longo do eixo x. Precisamos usar o fenômeno de contração relativística de comprimentos para determinar, no referencial original (onde a barra se move), a) o comprimento da barra e b) o ângulo que ela forma com o eixo x.

Passo 2

Em relatividade restrita, só a componente do comprimento paralela à direção do movimento sofre contração. Se uma barra faz ângulo \alpha com o eixo x e se move ao longo de x com velocidade v, então sua componente paralela ao movimento se contrai por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}
enquanto a componente perpendicular permanece inalterada.

Passo 3

Decompondo o comprimento próprio L_{0} em componentes paralela e perpendicular ao eixo x:
L_{x0} = L_{0}\cos(30^{\circ}), \quad L_{y0} = L_{0}\sin(30^{\circ}).

Passo 4

A velocidade é v=0{,}8\,c, logo
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}8^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}} = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3}.
Assim, no referencial em que a barra se move:
L_{x} = \frac{L_{x0}}{\gamma}, \quad L_{y} = L_{y0}.

Passo 5

Calculando numericamente:
L_{x0} = 2\cdot\cos(30^{\circ}) = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\approx1{,}732\\ \mathrm{m},
L_{y0} = 2\cdot\sin(30^{\circ}) = 2\cdot\frac{1}{2} = 1{,}0\\ \mathrm{m},
L_{x} = \frac{\sqrt{3}}{5/3} = \frac{3\sqrt{3}}{5}\approx1{,}039\\ \mathrm{m},
e o comprimento resultante é
L = \sqrt{L_{x}^{2} + L_{y}^{2}} = \sqrt{(1{,}039)^{2} + (1{,}0)^{2}} \approx1{,}443\\ \mathrm{m}.

Passo 6

O ângulo \varphi que a barra faz com o eixo x no referencial original satisfaz
\tan(\varphi) = \frac{L_{y}}{L_{x}} = \frac{1{,}0}{1{,}039} \approx0{,}9623 \quad\Longrightarrow\quad \varphi \approx\arctan(0{,}9623)\approx43{,}8^{\circ}.

Resposta

a) L\approx1{,}44\\ \mathrm{m}.
b) \varphi\approx43{,}8^{\circ}.

Exercícios relacionados