( 2,0 pontos) Um bloco de massa m está preso a uma mola ideal de constante elástica k e oscila cm uma superficie horizontal sem atrito.
(a) Decluza a expressão para a energia total do sistema em função da amplitude A.
(b) Mostre que a energia se conserva ao longo do movimento.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m ligado a uma mola ideal de constante k que desliza sem atrito. Pede-se:
(a) a energia total E do sistema em função da amplitude A;
(b) mostrar que E se conserva durante o movimento.
Para isso vamos usar as fórmulas da energia cinética e da energia potencial elástica, além da equação de movimento m\,a=-k\,x.

Passo 2

Em qualquer instante t o bloco tem velocidade v(t) e posição x(t). A energia cinética é
T = \frac12\,m\,v^2
e a energia potencial elástica é
U = \frac12\,k\,x^2.
Logo a energia total é
E = T + U = \frac12\,m\,v^2 + \frac12\,k\,x^2.

Passo 3

No extremo da oscilação x=A a velocidade é zero ( v=0), então toda a energia está armazenada na mola:
E = \frac12\,k\,A^2.
Isso já responde a parte (a), pois E em função da amplitude é \tfrac12\,k\,A^2.

Passo 4

Para ver que E é constante, calculamos sua derivada temporal:
\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12\,m\,v^2 + \tfrac12\,k\,x^2\Bigr) = m\,v\,\dot v + k\,x\,\dot x = v\,(m\,a + k\,x).
Mas a lei de Hooke dá m\,a = -k\,x, então
m\,a + k\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dE}{dt} = 0,
isto é, E não varia com o tempo.

Resposta

(a) E = \displaystyle \frac12\,k\,A^2.
(b) \displaystyle \frac{dE}{dt}=0, logo a energia se conserva ao longo do movimento.

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