( 2,0 pontos) Um bloco realiza um movimento harmônico simples descrito pela função
x(t)=0,2 \cos (4 t+\pi / 6)
onde x está em metros e t em segundos. Determine:
(a) A amplitude, frequência angular e fase inicial do movimento.
(b) As expressōes para a velocidade e aceleração em função do tempo.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento harmônico simples (MHS) onde a posição do bloco é dada por
x(t)=0,2\cos\bigl(4t+\tfrac{\pi}{6}\bigr),
com x em metros e t em segundos. Precisamos extrair a amplitude A, a frequência angular \omega e a fase inicial \varphi, e depois obter as expressões de v(t) e a(t) derivando x(t).

Passo 2

Na forma geral do MHS temos
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi).
Comparando com x(t)=0,2\cos(4t+\pi/6), vemos que
A=0,2,\quad \omega=4,\quad \varphi=\tfrac{\pi}{6}.

Passo 3

A velocidade é a derivada de x(t). Logo,
v(t)=\frac{dx}{dt} =-0,2\cdot4\;\sin\bigl(4t+\tfrac{\pi}{6}\bigr) =-0,8\sin\bigl(4t+\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 4

A aceleração é a derivada de v(t). Assim,
a(t)=\frac{dv}{dt} =-0,8\cdot4\;\cos\bigl(4t+\tfrac{\pi}{6}\bigr) =-3,2\cos\bigl(4t+\tfrac{\pi}{6}\bigr).

Resposta

(a) Amplitude A=0,2 m; frequência angular \omega=4 rad/s; fase inicial \varphi=\tfrac{\pi}{6}.
(b) v(t)=-0,8\sin\bigl(4t+\tfrac{\pi}{6}\bigr) m/s;
\quad\ a(t)=-3,2\cos\bigl(4t+\tfrac{\pi}{6}\bigr) m/ s^{2}.

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