Uma barra tracionada conecta dois pontos, formando um trîangulo com a horizontal. Deseja-se minimi zar a tens̃ao na barra, modelada por T(x, y)={ }^{\mathrm{p}} x^{2}+y^{2} sabendo que o ponto final da barra deve pertencer `a curva x^{2}-y=1. Use o m’etodo dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a posi, c~ao que minimiza a tens̃ao.

Passo 1

O problema é minimizar a tensão
T(x,y)=p\,x^{2}+y^{2}
sujeita à restrição
x^{2}-y-1=0.
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que buscamos pontos (x,y) e escalar \lambda tais que
\nabla T(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y),
onde g(x,y)=x^{2}-y-1.

Passo 2

Montamos a Lagrangeana
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=p\,x^{2}+y^{2}+\lambda\,(x^{2}-y-1).
As condições de ponto crítico são
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2p\,x+2\lambda\,x=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=2y-\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=x^{2}-y-1=0.

Passo 3

Da primeira equação, 2x(p+\lambda)=0. Se x\neq0 então
p+\lambda=0\quad\Rightarrow\quad \lambda=-p.
Da segunda equação vem
2y-\lambda=0\quad\Rightarrow\quad y=\frac{\lambda}{2}=-\frac{p}{2}.

Passo 4

Substituindo y=-\tfrac p2 na restrição x^{2}-y-1=0
x^{2}+\frac{p}{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=1-\frac{p}{2}.
Para essa solução existir com x\in\mathbb{R} é preciso
1-\frac{p}{2}\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad p\le2.

Passo 5

Se p\le2, obtemos duas soluções simétricas
x=\pm\sqrt{1-\frac{p}{2}}, \quad y=-\frac{p}{2}.
Se p>2, a única opção real é x=0, e da restrição y=-1.

Passo 6

Comparando T(0,-1)=1 com
T\Bigl(\pm\sqrt{1-\tfrac p2},-\tfrac p2\Bigr) =p\Bigl(1-\tfrac p2\Bigr)+\Bigl(-\tfrac p2\Bigr)^{2} =p-\frac{p^{2}}{4},
vemos que para p\le2 vale p-\tfrac{p^{2}}{4}\le1, logo o mínimo ocorre no ponto com x^{2}=1-\tfrac p2. Para p>2 só sobra (0,-1).

Resposta

Para p\le2:
x=\pm\sqrt{1-\frac{p}{2}}, \quad y=-\frac{p}{2}.
Para p>2:
x=0, \quad y=-1.

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