Uma barra tracionada conecta dois pontos, formando um trîangulo com a horizontal. Deseja-se minimi zar a tens̃ao na barra, modelada por
sabendo que o ponto final da barra deve pertencer `a curva
. Use o m’etodo dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a posi, c~ao que minimiza a tens̃ao.
Passo 1
O problema é minimizar a tensão
sujeita à restrição
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que buscamos pontos
e escalar
tais que
onde
.
Passo 2
Montamos a Lagrangeana
As condições de ponto crítico são
Passo 3
Da primeira equação,
. Se
então
Da segunda equação vem
Passo 4
Substituindo
na restrição
dá
Para essa solução existir com
é preciso
Passo 5
Se
, obtemos duas soluções simétricas
Se
, a única opção real é
, e da restrição
.
Passo 6
Comparando
com
vemos que para
vale
, logo o mínimo ocorre no ponto com
. Para
só sobra
.
Resposta
Para
:
Para
: