Uma mola helicoidal se deforma em duas dire, c~oes ortogonais, com energia el’astica total dada por
. O deslocamento total da extremidade est’a limitado por um guia mec^anico
Use o m’etodo dos multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto (
) que minimiza a energia el’astica sob essa restri,čao.
Passo 1
O enunciado trata de uma mola helicoidal deformada em duas direções ortogonais, com energia elástica
e sujeita à restrição mecânica
O objetivo é usar multiplicadores de Lagrange para encontrar
que minimize
respeitando
.
Passo 2
Formamos o lagrangeano
Passo 3
Impondo as condições de ponto crítico:
Passo 4
Das duas primeiras equações vem
Substituindo na restrição
dá
e portanto
Passo 5
Para verificar que é mínimo, note que a matriz Hessiana de
é
vezes a identidade, que é positiva definida, logo o ponto obtido é mesmo minimizador.