Uma mola helicoidal se deforma em duas dire, c~oes ortogonais, com energia el’astica total dada por
U(x, y)={ }^{1}{ }_{2} k\left(x^{2}+y^{2}\right). O deslocamento total da extremidade est’a limitado por um guia mec^anico x+y=d Use o m’etodo dos multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto ( x, y ) que minimiza a energia el’astica sob essa restri,čao.

Passo 1

O enunciado trata de uma mola helicoidal deformada em duas direções ortogonais, com energia elástica
U(x,y)=\tfrac12\,k\bigl(x^2+y^2\bigr)
e sujeita à restrição mecânica
x+y=d.
O objetivo é usar multiplicadores de Lagrange para encontrar (x,y) que minimize U respeitando x+y=d.

Passo 2

Formamos o lagrangeano
\mathcal{L}(x,y,\lambda) =\tfrac12\,k\bigl(x^2+y^2\bigr)\;-\;\lambda\,(x+y-d).

Passo 3

Impondo as condições de ponto crítico:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=k\,x-\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=k\,y-\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x+y-d)=0.

Passo 4

Das duas primeiras equações vem
k\,x=\lambda \quad\text{e}\quad k\,y=\lambda \;\Longrightarrow\; k\,x=k\,y \;\Longrightarrow\; x=y.
Substituindo na restrição x+y=d
2x=d \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{d}{2},
e portanto
y=\frac{d}{2}.

Passo 5

Para verificar que é mínimo, note que a matriz Hessiana de U é k vezes a identidade, que é positiva definida, logo o ponto obtido é mesmo minimizador.

Resposta

x=\frac{d}{2},\quad y=\frac{d}{2}.

Exercícios relacionados