Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y)=y^{2}-x^{2}, \frac{x}{4}+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y)=y^{2}-x^{2}
sob a restrição
\frac{x}{4}+y^{2}=1.
O conteúdo aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange: vamos resolver
\nabla f=\lambda\,\nabla g,\quad g(x,y)=\frac{x}{4}+y^{2}-1=0.

Passo 2

Calculemos os gradientes:
\nabla f = \bigl(f_x,f_y\bigr)=\bigl(-2x,\;2y\bigr),
\nabla g = \bigl(g_x,g_y\bigr)=\Bigl(\tfrac14,\;2y\Bigr).
O sistema de Lagrange é
-2x = \lambda\cdot \tfrac14, \quad 2y = \lambda\cdot 2y, \quad \frac{x}{4}+y^{2}=1.

Passo 3

Caso y\neq 0: da segunda equação
2y = 2\lambda y \;\Longrightarrow\; \lambda = 1.
Da primeira,
-2x = \tfrac14\cdot 1 \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac18.
Na restrição,
-\tfrac18\div 4 + y^{2} =1 \;\Longrightarrow\; -\tfrac1{32}+y^{2}=1 \;\Longrightarrow\; y^{2}=\frac{33}{32} \;\Longrightarrow\; y=\pm\sqrt{\frac{33}{32}}.
Avaliação de f:
f\bigl(-\tfrac18,\pm\sqrt{\tfrac{33}{32}}\bigr) =\frac{33}{32}-\frac{1}{64} =\frac{66-1}{64} =\frac{65}{64}.

Passo 4

Caso y=0: da restrição vem
\frac{x}{4}+0=1 \;\Longrightarrow\; x=4.
Então o ponto é (4,0) e
f(4,0)=0-16=-16.

Passo 5

Comparando os valores encontrados:
f=-16\quad\text{em}\;(4,0), \qquad f=\frac{65}{64}\quad\text{em}\;\Bigl(-\tfrac18,\pm\sqrt{\tfrac{33}{32}}\Bigr).
Logo, o mínimo de f vale -16 e o máximo vale \tfrac{65}{64}.

Resposta

O valor mínimo é -16 em (4,0).
O valor máximo é \tfrac{65}{64} em \bigl(-\tfrac18,\pm\sqrt{\tfrac{33}{32}}\bigr).

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