Em cada item abaixo, determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre:
f(x, y)=4xy, P=(4,1)

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima de f no ponto P=(4,1) e a direção em que ela ocorre. Este problema usa o conceito de gradiente em cálculo multivariável: a direção de maior crescimento de uma função diferenciável é dada pelo vetor gradiente, e a taxa máxima é o seu módulo.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=4xy:
\frac{\partial f}{\partial x}=4y,
\frac{\partial f}{\partial y}=4x.
Logo, o gradiente de f é
\nabla f(x,y) = \bigl(4y,\;4x\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(4,1):
\nabla f(4,1) = \bigl(4\cdot1,\;4\cdot4\bigr) = (4,16).

Passo 4

A taxa de variação máxima é o módulo de \nabla f(4,1):
\bigl\|\nabla f(4,1)\bigr\| = \sqrt{4^2 + 16^2} = \sqrt{16 + 256} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17}.

Passo 5

A direção de maior crescimento é a do próprio gradiente, ou seja, o vetor unitário na direção (4,16):
\frac{\nabla f(4,1)}{\|\nabla f(4,1)\|} = \frac{(4,16)}{4\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}}\,(1,4).

Resposta

A taxa de variação máxima de f em P=(4,1) é 4\sqrt{17} e ocorre na direção do vetor unitário \frac{1}{\sqrt{17}}(1,4).

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