Considere um mecanismo de duas hastes articuladas, de comprimentos a e b, que formam um sistema de alavanca. O torque total aplicado ao sistema 'e T(\theta, \varphi)=a \operatorname{sen} \theta+b \operatorname{sen} \varphi. O sistema est’a sujeito `a restri, c ~ao de comprimento horizontal a \cos \theta+b \cos \varphi=L. Utilize multiplicadores de Lagrange para determinar os { }^{\text {a }} angulos \theta e \varphi que maximizam o torque total.

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos maximizar o torque total
T(\theta,\varphi)=a\sin\theta + b\sin\varphi
sujeito à restrição de projeção horizontal
a\cos\theta + b\cos\varphi = L\,.
O método a usar é o de multiplicadores de Lagrange para funções de duas variáveis com restrição.

Passo 2

Formamos a função de Lagrange
\mathcal{L}(\theta,\varphi,\lambda) = a\sin\theta + b\sin\varphi - \lambda\bigl(a\cos\theta + b\cos\varphi - L\bigr)\,.

Passo 3

Igualamos as derivadas parciais a zero:
Para \theta:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta} = a\cos\theta + \lambda\,a\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta + \lambda\sin\theta = 0\,.
Para \varphi:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi} = b\cos\varphi + \lambda\,b\sin\varphi = 0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi + \lambda\sin\varphi = 0\,.

Passo 4

Das duas condições
\cos\theta + \lambda\sin\theta = 0
e
\cos\varphi + \lambda\sin\varphi = 0
vem
\tan\theta = \tan\varphi,
logo num mesmo ramo de ângulos temos
\theta = \varphi.
Além disso, dessas equações segue
\lambda = -\cot\theta.

Passo 5

Substituindo \theta=\varphi na restrição
a\cos\theta + b\cos\theta = (a+b)\cos\theta = L
obtém-se
\cos\theta = \frac{L}{a+b} \quad\Longrightarrow\quad \theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{L}{a+b}\Bigr)\,.
E como \varphi=\theta, temos o mesmo valor para \varphi.

Resposta

\theta = \varphi = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{L}{a+b}\Bigr).

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