Uma barra tracionada conecta dois pontos, formando um triângulo com a horizontal. Deseja-se minimizar a tensão na barra, modelada por T(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sabendo que o ponto final da barra deve pertencer à curva x^{2}-y=1. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a posição que minimiza a tensão.

Passo 1

O enunciado pede para posicionar o ponto (x,y) de modo a minimizar a tensão
T(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
sujeito à curva
x^{2}-y=1.
O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Para simplificar, minimizamos
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
em vez de T, pois T é crescente em f. A restrição é
g(x,y)=x^{2}-y-1=0.
Definimos o Lagrangeano
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x^{2}+y^{2}+\lambda\,(x^{2}-y-1).

Passo 3

Escrevemos as equações de primeira ordem:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2x+2\lambda x=2x(1+\lambda)=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=2y-\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=x^{2}-y-1=0.

Passo 4

Da equação 2x(1+\lambda)=0 há dois caminhos:
(i) x=0.
Então da restrição 0^{2}-y=1 vem y=-1.
E de 2y-\lambda=0 obtemos \lambda=2y=-2.
f(0,-1)=1 e T=\sqrt{1}=1.

Passo 5

(ii) 1+\lambda=0, ou seja \lambda=-1.
Da equação 2y-\lambda=0 segue 2y+1=0 e, portanto, y=-\tfrac12.
Da restrição x^{2}-(-\tfrac12)=1 temos x^{2}=\tfrac12, logo
x=\pm\frac{1}{\sqrt2}.
Nesse caso
f\Bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac12\Bigr)=\tfrac12+\tfrac14=\tfrac34
e
T=\sqrt{\tfrac34}=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866.

Passo 6

Comparando os valores de T:
T(0,-1)=1,\quad T\bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac12\bigr)=\frac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866.
O menor é \tfrac{\sqrt3}{2}, obtido em \bigl(\pm\tfrac1{\sqrt2},-\tfrac12\bigr).

Resposta

A posição que minimiza a tensão é
\bigl(x,y\bigr)=\Bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt2},\,-\tfrac12\Bigr),
com tensão mínima T_{\min}=\tfrac{\sqrt3}{2}.

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