Uma barra tracionada conecta dois pontos, formando um triângulo com a horizontal. Deseja-se minimizar a tensão na barra, modelada por
sabendo que o ponto final da barra deve pertencer à curva
. Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a posição que minimiza a tensão.
Passo 1
O enunciado pede para posicionar o ponto
de modo a minimizar a tensão
sujeito à curva
O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Para simplificar, minimizamos
em vez de
, pois
é crescente em
. A restrição é
Definimos o Lagrangeano
Passo 3
Escrevemos as equações de primeira ordem:
Passo 4
Da equação
há dois caminhos:
(i) .
Então da restrição vem
.
E de obtemos
.
Aí e
.
(i)
Então da restrição
E de
Aí
Passo 5
(ii)
, ou seja
.
Da equação segue
e, portanto,
.
Da restrição temos
, logo
Da equação
Da restrição
Nesse caso
e
Passo 6
Comparando os valores de
:
O menor é
, obtido em
.
Resposta
A posição que minimiza a tensão é
com tensão mínima
.