Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \ln \left(\frac{1+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right)\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(1,0)}\ln\!\Bigl(\frac{1+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\Bigr).
O conteúdo envolve limites de funções de duas variáveis e uso da continuidade da função logaritmo natural. Para resolver, vamos primeiro calcular o limite da razão interna e depois aplicar a continuidade de \ln.

Passo 2

Analisamos a parte interna da função,
f(x,y) = \frac{1+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Como (x,y)\to(1,0), temos y^{2}\to0 e x^{2}\to1. Logo
\lim_{(x,y)\to(1,0)}f(x,y) = \frac{1+0}{1+0} =1.

Passo 3

A função \ln(u) é contínua para u>0. Já que em um entorno de (1,0) a expressão \tfrac{1+y^{2}}{x^{2}+y^{2}} é sempre positiva, podemos passar o limite para dentro do logaritmo:
\lim_{(x,y)\to(1,0)}\ln\!\Bigl(\frac{1+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{1+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\Bigr).

Passo 4

Substituindo o resultado do passo anterior, obtemos
\ln(1) = 0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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