Use a fórmula de Taylor para encontrar as aproximações de ordem 1 e 2 da função
na vizinhança do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede as aproximações pelo polinômio de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 de
em torno de
.
O conteúdo que vamos usar é o teorema de Taylor para funções de duas variáveis, que exige calcular , as derivadas parciais de primeira ordem em
para a ordem 1, e também as derivadas parciais de segunda ordem em
para completar a ordem 2.
O conteúdo que vamos usar é o teorema de Taylor para funções de duas variáveis, que exige calcular
Passo 2
Calculamos primeiro
As derivadas parciais de primeira ordem são
logo em
temos
O polinômio de Taylor de ordem 1 fica então
Passo 3
Agora as derivadas parciais de segunda ordem:
Em
isso dá
O termo de segunda ordem do polinômio de Taylor é
Portanto o polinômio de ordem 2 é
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 1 é
e o polinômio de Taylor de ordem 2 é