Use a fórmula de Taylor para encontrar as aproximações de ordem 1 e 2 da função f(x, y)=e^{x y} na vizinhança do ponto (a, b)=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede as aproximações pelo polinômio de Taylor de ordem 1 e de ordem 2 de
f(x,y)=e^{x y}
em torno de (a,b)=(0,0).
O conteúdo que vamos usar é o teorema de Taylor para funções de duas variáveis, que exige calcular f(0,0), as derivadas parciais de primeira ordem em (0,0) para a ordem 1, e também as derivadas parciais de segunda ordem em (0,0) para completar a ordem 2.

Passo 2

Calculamos primeiro
f(0,0)=e^{0\cdot0}=1.
As derivadas parciais de primeira ordem são
f_x(x,y)=y\,e^{x y}, \quad f_y(x,y)=x\,e^{x y},
logo em (0,0) temos
f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=0.
O polinômio de Taylor de ordem 1 fica então
T_1(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y =1+0\cdot x+0\cdot y =1.

Passo 3

Agora as derivadas parciais de segunda ordem:
f_{xx}(x,y)=y^2\,e^{x y}, \quad f_{xy}(x,y)=e^{x y}+x y\,e^{x y}, \quad f_{yy}(x,y)=x^2\,e^{x y}.
Em (0,0) isso dá
f_{xx}(0,0)=0,\quad f_{xy}(0,0)=1,\quad f_{yy}(0,0)=0.
O termo de segunda ordem do polinômio de Taylor é
\frac12\bigl(f_{xx}(0,0)\,x^2+2f_{xy}(0,0)\,x y+f_{yy}(0,0)\,y^2\bigr) =\frac12\bigl(0+2\cdot1\cdot x y+0\bigr) =x y.
Portanto o polinômio de ordem 2 é
T_2(x,y)=1 + x y.

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 1 é
T_1(x,y)=1,
e o polinômio de Taylor de ordem 2 é
T_2(x,y)=1 + x\,y.

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