Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2} y}{x^{2}+2 y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}
ou mostre que esse limite não existe. O conteúdo aqui é análise de limites de funções de duas variáveis e, para verificar existência, vamos comparar o valor da função em diferentes caminhos de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Considere a reta y=0. Ao longo desse caminho temos
\frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}0}{x^{2}+2\cdot0^{2}} =\frac{x^{2}+0}{x^{2}+0} =1.
Portanto
\lim_{x\to0}\frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}0}{x^{2}+2\cdot0^{2}}=1.

Passo 3

Considere agora a reta x=0. Nesse caso
\frac{0^{2}+\operatorname{sen}^{2}y}{0^{2}+2y^{2}} =\frac{\operatorname{sen}^{2}y}{2y^{2}}.
Como \operatorname{sen} y\sim y quando y\to0, temos
\lim_{y\to0}\frac{\operatorname{sen}^{2}y}{2y^{2}} =\frac{1}{2}.

Passo 4

Os limites ao longo de y=0 e de x=0 são diferentes ( 1 e 1/2). Logo a função não se aproxima de um único valor quando (x,y)\to(0,0).

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados