Uma viga homogênea de comprimento L está apoiada nas extremidades e forma um arco devido à ação de forças externas. Deseja-se encontrar o ponto (x, y) da seção média da viga que minimiza a energia potencial gravitacional: U(x, y)=m g y sujeito à restrição geométrica do comprimento da viga (simplificado como uma curva circular): x^{2}+y^{2}=\left(\frac{L}{2}\right)^{2}. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a posição de menor energia potencial.

Passo 1

O enunciado pede minimizar a energia potencial gravitacional
U(x,y)=m\,g\,y
sujeito à restrição geométrica
x^{2}+y^{2}=\Bigl(\frac{L}{2}\Bigr)^{2}.
O conteúdo aqui é cálculo de várias variáveis com método de multiplicadores de Lagrange para extremos condicionados.

Passo 2

Construímos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=m\,g\,y \;+\;\lambda\Bigl(x^{2}+y^{2}-\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)^{2}\Bigr).

Passo 3

Impondo as condições de primeira ordem, igualamos a zero as derivadas parciais:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2\lambda x=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=m\,g+2\lambda y=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=x^{2}+y^{2}-\Bigl(\tfrac{L}{2}\Bigr)^{2}=0.

Passo 4

Da primeira equação vem x=0 (não há solução física com \lambda=0 pois m\,g\neq0). Substituindo em
x^{2}+y^{2}=\Bigl(\tfrac{L}{2}\Bigr)^{2}
obtém-se
y=\pm\frac{L}{2}.
Da segunda equação isolamos \lambda, mas o que importa são os pontos críticos (0,\tfrac{L}{2}) e (0,-\tfrac{L}{2}).

Passo 5

Calculamos U em cada candidato:
U\bigl(0,\tfrac{L}{2}\bigr)=m\,g\,\frac{L}{2},\quad U\bigl(0,-\tfrac{L}{2}\bigr)=m\,g\Bigl(-\frac{L}{2}\Bigr)=-m\,g\,\frac{L}{2}.
Como queremos o valor mínimo de U, escolhemos o ponto de menor energia, que é
(0,-\tfrac{L}{2}).

Resposta

(x,y)=\Bigl(0,-\frac{L}{2}\Bigr).

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