Uma viga homogênea de comprimento
está apoiada nas extremidades e forma um arco devido à ação de forças externas. Deseja-se encontrar o ponto
da seção média da viga que minimiza a energia potencial gravitacional:
sujeito à restrição geométrica do comprimento da viga (simplificado como uma curva circular):
. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar a posição de menor energia potencial.
Passo 1
O enunciado pede minimizar a energia potencial gravitacional
sujeito à restrição geométrica
O conteúdo aqui é cálculo de várias variáveis com método de multiplicadores de Lagrange para extremos condicionados.
Passo 2
Construímos a função de Lagrange
Passo 3
Impondo as condições de primeira ordem, igualamos a zero as derivadas parciais:
Passo 4
Da primeira equação vem
(não há solução física com
pois
). Substituindo em
obtém-se
Da segunda equação isolamos
, mas o que importa são os pontos críticos
e
.
Passo 5
Calculamos
em cada candidato:
Como queremos o valor mínimo de
, escolhemos o ponto de menor energia, que é
.