A barra uniforme A B pesa 60 N . Ela está apoiada em uma junta esférica no ponto A e está presa por um cabo C D fixo ao ponto médio C da barra. Sabendo que a barra está encostada em uma parede lisa (sem atrito) no ponto B, encontre o valor da tensão estabelecida no cabo C D para o equilíbrio da barra, e a reação nos apoios A e B.

Passo 1

Resumindo, temos uma barra homogênea AB de peso W=60\text{ N}, apoiada em articulação esférica em A e encostada sem atrito numa parede plana em B. Além disso um cabo CD prende o ponto médio C da barra a um ponto fixo D na parede. O objetivo é usar o equilíbrio de forças e momentos em três dimensões para achar a tensão T do cabo e as reações em A e B.

Passo 2

Definimos um sistema de eixos cartesianas em metros:
– eixo x para fora da parede (positiva saindo da parede),
– eixo y vertical para cima,
– eixo z horizontal paralelo à base da parede.
As coordenadas dos pontos, em metros, são:
A(0{,}5,\;0,\;0),\quad B(0,\;0{,}3,\;0{,}225).
O ponto médio da barra é
C=\Bigl(\tfrac{0{,}5+0}{2},\;\tfrac{0+0.3}{2},\;\tfrac{0+0.225}{2}\Bigr) =(0{,}25,\;0{,}15,\;0{,}1125).
O ponto fixo do cabo na parede fica diretamente na mesma altura de C e na aresta da parede, ou seja
D(0,\;0{,}15,\;0).

Passo 3

As forças que atuam na barra são:
1. O peso \vec W = -W\,\jmath aplicado em C, com W=60.
2. A tensão \vec T no cabo, que tem direção de C para D:
\vec u = \frac{\,\overrightarrow{CD}\,}{|\overrightarrow{CD}|} =\frac{(0-0.25,\;0.15-0.15,\;0-0.1125)}{\sqrt{0.25^2+0.1125^2}} =(-0.911,\;0,\;-0.4105),
então
\vec T=T\,\vec u.
3. A reação na parede em B, \vec R_B=(N_B,0,0), pois é normal à parede x=0.
4. A reação na junta em A, \vec R_A=(A_x,A_y,A_z).

Passo 4

Equilíbrio de forças ( \sum\vec F=\vec0) dá em cada componente:
x:\quad A_x + N_B -0{,}911\,T = 0,
y:\quad A_y - 60 = 0 \;\Longrightarrow\; A_y = 60\text{ N},
z:\quad A_z -0{,}4105\,T = 0\;\Longrightarrow\;A_z = 0{,}4105\,T.

Passo 5

Equilíbrio de momentos em A ( \sum \vec{M}_A = \vec{0}). Usamos \vec{r}_C = (-0,25, 0,15, 0,1125) e \vec{r}_B = (-0,5, 0,3, 0,225).
– Momento do peso:
\;M_W = \vec{r}_C \times (-60\,\jmath) = (-6,75\,\mathbf{i} + 15\,\mathbf{k}).
– Momento da tensão:
\;M_T = \vec{r}_C \times (T\,\vec{u}) = T (-0,061575\,\mathbf{i} - 0,205113\,\mathbf{j} + 0,13665\,\mathbf{k}).
– Momento da reação em B:
\;M_B = \vec{r}_B \times (N_B\,\mathbf{i}) = 0,225 N_B \mathbf{j} - 0,3 N_B \mathbf{k}.
Somando \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} a zero:
Componente \mathbf{i}:
-6,75 - 0,061575 T = 0 \;\Longrightarrow\; T = \frac{6,75}{0,061575} \approx 109,7 \text{ N}.
Componente \mathbf{j}:
-0,205113 T + 0,225 N_B = 0 \;\Longrightarrow\; N_B = \frac{0,205113}{0,225} T \approx 0,9116 T \approx 100,0 \text{ N}.
(Confirmação pela componente \mathbf{k} dá o mesmo N_B.)

Passo 6

Voltando às forças, como T\approx109{,}7:
A_z = 0{,}4105\,T\approx 45{,}0\text{ N},\quad A_x = 0{,}911\,T - N_B\approx0.
Portanto
\vec R_A=(A_x,A_y,A_z)\approx(0,\;60,\;45)\text{ N}, \qquad \vec R_B=(100,\;0,\;0)\text{ N},
e a tensão no cabo é T\approx109{,}7\text{ N}.

Resposta

Tensão no cabo:
T\approx110\text{ N}.
Reação na parede ( B):
R_B=100\text{ N} \quad(\text{normal à parede}).à
Reação na junta esférica ( A):
\vec R_A=(0,\;60,\;45)\text{ N},\quad |\vec R_A|=\sqrt{60^2+45^2}\approx75\text{ N}.

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