Sabendo que o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v} éde 30^{\circ}, determine o ângulo formado pelos vetores -\vec{u} e -\vec{v}. Pontuação: \mathbf{0 , 5} ponto.

Passo 1

O enunciado diz que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é 30^\circ. O conteúdo aqui é produto escalar de vetores e a relação com o cosseno do ângulo entre eles:
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}.
Vamos usar essa definição para comparar com os vetores -\vec{u} e -\vec{v}.

Passo 2

Seja \theta' o ângulo entre -\vec{u} e -\vec{v}. Pela definição do produto escalar, temos
\cos\theta' = \frac{(-\vec{u})\cdot(-\vec{v})}{\|-\vec{u}\|\;\|-\vec{v}\|}.

Passo 3

Usamos as propriedades
(-\vec{u})\cdot(-\vec{v}) = \vec{u}\cdot\vec{v}, \qquad \|-\vec{u}\| = \|\vec{u}\|, \qquad \|-\vec{v}\| = \|\vec{v}\|.
Substituindo em \cos\theta', vem
\cos\theta' = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}.

Passo 4

Mas o lado direito é exatamente \cos\theta, onde \theta=30^\circ. Logo
\cos\theta' = \cos\theta.
Como \theta e \theta' estão no intervalo [0,180^\circ], concluímos \theta'=\theta.

Resposta

O ângulo formado pelos vetores -\vec{u} e -\vec{v} é 30^\circ.

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