Seja f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 5^{n}} x^{n}. Responda os itens abaixo:
a) Qual o domínio da funçāo f ? (intervalo de convergência da série)
b) Determine uma representação em série de pontências para a derivada da funçāo f, ou seja, para f^{\prime}(x). Determine o raio de convergencia da série obtida.
c) Determine uma representação em série de potências para \int_{0}^{x} f(t) d t e determine o intervalo de convergência da série obtida.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,x^{n}
e pede:
a) o intervalo de convergência dessa série de potências;
b) a série de potências para f'(x) e seu raio de convergência;
c) a série de potências para \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt e o intervalo de convergência.
O conteúdo é séries de potências, teste da razão para o raio de convergência, e diferenciação/integração termo a termo de séries.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão ao termo genérico
a_n(x)=\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,x^{n}.
Calcule
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+2}}{(n+1)5^{n+1}}\,x^{n+1}}{\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,x^{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\;\frac{|x|}{5} =\frac{|x|}{5}.
Para convergir, precisamos de L<1, ou seja |x|<5. Assim o raio de convergência é R=5.
Agora testamos os extremos:
  • Em x=5: f(5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,5^n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n},que é a série alternada harmônica, converge (condicionalmente).
  • Em x=-5: f(-5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,(-5)^n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n+1}}{n} =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},que diverge.
Portanto o intervalo de convergência é
(-5,5].

Passo 3

Como o raio de convergência é R=5, podemos diferenciar termo a termo em |x|<5:
f'(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\;n\,x^{n-1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{5^{n}}\,x^{n-1}.
Reindexando com m=n-1, isto é n=m+1,
f'(x) =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m+2}}{5^{m+1}}\,x^{m} =\frac{1}{5}\sum_{m=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{x}{5}\Bigr)^{m}.
Isso é uma série geométrica de razão -x/5, com raio de convergência também 5.

Passo 4

Para a integração termo a termo em |x|<5, fazemos
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,t^{n}\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\;\frac{x^{n+1}}{n+1} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)\,5^{n}}\,x^{n+1}.
O raio de convergência continua 5.
Nos extremos:
  • Em x=5 a série fica \sum(-1)^{n+1}5/(n(n+1)), que converge absolutamente (compara-se a 1/n^2).
  • Em x=-5 ocorre \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)5^n}(-5)^{n+1} =\sum_{n=1}^\infty\frac{5}{n(n+1)},que converge (é telescópica).
    Logo o intervalo de convergência é [-5,5].

Resposta

a) O intervalo de convergência (domínio de f) é \,(-5,5].
b)
f'(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{5^{n+1}}\,x^{n},
com raio de convergência R=5.
c)
\int_{0}^{x}f(t)\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)\,5^{n}}\,x^{n+1},
com intervalo de convergência \,[-5,5].

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