Seja f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n 5^{n}} x^{n}. Responda os itens abaixo:
a) Qual o domínio da funçāo f ? (intervalo de convergência da série)
b) Determine uma representação em série de pontências para a derivada da funçāo f, ou seja, para f^{\prime}(x). Determine o raio de convergencia da série obtida.
c) Determine uma representação em série de potências para \int_{0}^{x} f(t) d t e determine o intervalo de convergência da série obtida.
e pede:
a) o intervalo de convergência dessa série de potências;
b) a série de potências para f'(x) e seu raio de convergência;
c) a série de potências para \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,dt e o intervalo de convergência.
O conteúdo é séries de potências, teste da razão para o raio de convergência, e diferenciação/integração termo a termo de séries.
Para convergir, precisamos de L<1, ou seja |x|<5. Assim o raio de convergência é R=5.
Agora testamos os extremos:
Em x=5:f(5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,5^n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n},que é a série alternada harmônica, converge (condicionalmente).
Em x=-5:f(-5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,5^{n}}\,(-5)^n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2n+1}}{n} =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},que diverge.
Portanto o intervalo de convergência é
(-5,5].
Passo 3
Como o raio de convergência é R=5, podemos diferenciar termo a termo em |x|<5:
Em x=5 a série fica \sum(-1)^{n+1}5/(n(n+1)), que converge absolutamente (compara-se a 1/n^2).
Em x=-5 ocorre\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)5^n}(-5)^{n+1} =\sum_{n=1}^\infty\frac{5}{n(n+1)},que converge (é telescópica).
Logo o intervalo de convergência é [-5,5].
Resposta
a) O intervalo de convergência (domínio de f) é \,(-5,5].
b)