(a) Escreva a velocidade do centro de massa do sistema antes da colisão, em função do tempo e das variáveis do problema.
(b) Considerando que a colisão seja perfeitamente elástica, qual seria a máxima compressão sofrida pela mola?
(c) Se o experimento é refeito de tal forma que os dois blocos permanecem juntos após a colisão, qual seria a razão entre a máxima compressão sofrida pela mola neste caso e no caso do item (b)?

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações / variáveis que vamos usar (assumindo a configuração física padrão necessária para interpretar as perguntas).
  • Pedidos:
    (a) escrever a velocidade do centro de massa do sistema antes da colisão, em função do tempo e das variáveis do problema;
    (b) para colisão perfeitamente elástica, determinar a máxima compressão da mola;
    (c) refazer o experimento supondo que os dois blocos ficam juntos (colisão perfeitamente inelástica) e obter a razão entre a máxima compressão da mola nesse caso e no item (b).
  • Variáveis e convenções que vamos usar (são as usualmente implicadas neste tipo de problema):
    • m: massa do bloco que vem em movimento (o projétil).
    • M: massa do bloco alvo (pode estar ligado à mola ou empurrar a mola).
    • k: constante elástica da mola (assumimos mola ideal).
    • v_m(t): velocidade do bloco de massa m antes da colisão (função do tempo, se houver).
    • v_M(t): velocidade do bloco de massa M antes da colisão (função do tempo).
    • Quando conveniente, uso v_0 para denotar a velocidade inicial do bloco m imediatamente antes da colisão, e normalmente tomo v_M=0 antes da colisão (alvo em repouso) quando isso for o caso.
    • A superfície é sem atrito e não há forças externas horizontais significativas durante o intervalo de interesse (logo o momento linear total se conserva).
    • A mola está inicialmente sem compressão e fixa ao outro lado (ou presa ao bloco M de forma que a compressão ocorre quando os blocos interagem). Essas são as hipóteses padrão para poder calcular compres­sões.
Não resolvo nada neste passo; apenas listei o que o problema pede e as variáveis que usarei.

Passo 2

Definição e fórmula geral da velocidade do centro de massa (aula rápida, bem mastigada).
  • Definição: a velocidade do centro de massa de um sistema de duas partículas é a razão entre o momento linear total do sistema e a massa total. Em palavras: soma das massas vezes suas velocidades dividido pela massa total.
  • Fórmula geral (sempre em TeX):
v_{\mathrm{cm}}(t)=\frac{m\,v_m(t)+M\,v_M(t)}{m+M}.
Aqui:
  • v_{\mathrm{cm}}(t) é a velocidade do centro de massa no instante t.
  • v_m(t) e v_M(t) são as velocidades instantâneas das massas m e M.
  • m+M é a constante massa total.
  • Observação física importante (por que isso é útil):
    Se não há forças externas resultantes atuando no sistema na direção do movimento (hipótese padrão), o momento linear total do sistema é conservado. Isso implica que v_{\mathrm{cm}}(t) é constante no tempo antes, durante e depois da colisão (enquanto não atuar força externa significativa). Então, na prática, antes da colisão podemos usar os valores iniciais das velocidades para obter v_{\mathrm{cm}}.
  • Caso frequentemente usado (bloco m vem com velocidade \,v_0 e M está em repouso antes da colisão):
v_{\mathrm{cm}}=\frac{m\,v_0+M\cdot 0}{m+M}=\frac{m\,v_0}{m+M}.
Expliquei de onde vem cada termo: m\,v_0 é o momento inicial do bloco que se move; M\cdot 0 é o momento do bloco em repouso.

Passo 3

Estratégia física para achar a compressão máxima da mola no caso de colisão perfeitamente elástica — princípios e condições no ponto de máxima compressão.
  • Ideia física: quando o bloco m atinge o bloco M e comprimem a mola, a energia cinética inicial do sistema é parcialmente armazenada como energia potencial da mola. No instante de máxima compressão da mola:
    • as duas massas têm a mesma velocidade (ou seja, a velocidade relativa entre elas é zero) — esse é um fato chave usado com frequência: máxima compressão ocorre quando não há velocidade relativa para continuar reduzindo a distância instantaneamente; a mola está no extremo da oscilação relativa.
    • Para colisão perfeitamente elástica entre massas com mola intermediária, o momento linear total do sistema é conservado.
    • A energia mecânica total do sistema (energia cinética + energia elástica da mola) também é conservada, porque não há perdas dissipativas (assumimos colisão/contato elástico e mola ideal).
  • Tradução matemática dessas ideias:
    • Conservação do momento linear (horizontal):
    m\,v_0 = (m+M)\,V,
    onde V é a velocidade comum das massas no instante de máxima compressão (igual à velocidade do centro de massa).
    • Conservação da energia mecânica entre o instante inicial (mola não comprimida) e o instante de máxima compressão:
    \tfrac{1}{2}m v_0^2 = \tfrac{1}{2}(m+M)V^2 + \tfrac{1}{2}k x_{\max}^2.
    Explicando cada termo:
    • \tfrac{1}{2}m v_0^2 é a energia cinética inicial (assume-se M em repouso inicialmente).
    • \tfrac{1}{2}(m+M)V^2 é a energia cinética da massa combinada no momento de máxima compressão (as duas se movem juntas com velocidade V).
    • \tfrac{1}{2}k x_{\max}^2 é a energia potencial armazenada na mola na compressão máxima x_{\max}.

Passo 4

Cálculo explícito de x_{\max} (colisão perfeitamente elástica) — passo a passo algébrico sem pular etapas.
  • Primeiro, obtenha V da conservação do momento:
V=\frac{m\,v_0}{m+M}.
Expliquei: isolando V em m v_0=(m+M)V.
  • Substitua V na equação de conservação de energia:
\tfrac{1}{2}m v_0^2 = \tfrac{1}{2}(m+M)\left(\frac{m\,v_0}{m+M}\right)^2 + \tfrac{1}{2}k x_{\max}^2.
Agora desenvolvo o primeiro termo do lado direito:
\tfrac{1}{2}(m+M)\left(\frac{m^2 v_0^2}{(m+M)^2}\right) = \tfrac{1}{2}\frac{m^2 v_0^2}{m+M}.
  • Reescrevendo a equação de energia e isolando \tfrac{1}{2}k x_{\max}^2:
\tfrac{1}{2}k x_{\max}^2 = \tfrac{1}{2}m v_0^2 - \tfrac{1}{2}\frac{m^2 v_0^2}{m+M}.
  • Coloco em evidência \tfrac{1}{2}v_0^2:
\tfrac{1}{2}k x_{\max}^2 = \tfrac{1}{2}v_0^2\left(m - \frac{m^2}{m+M}\right).
  • Simplifico a expressão dentro dos parênteses:
m - \frac{m^2}{m+M} = \frac{m(m+M)-m^2}{m+M} = \frac{mM}{m+M}.
  • Logo:
\tfrac{1}{2}k x_{\max}^2 = \tfrac{1}{2}v_0^2\cdot\frac{mM}{m+M}.
  • Cancelo o fator \tfrac{1}{2} e resolvo para x_{\max}:
x_{\max}^2 = \frac{v_0^2\,mM}{k(m+M)} \quad\Rightarrow\quad x_{\max} = v_0\sqrt{\frac{mM}{k(m+M)}}.
  • Comentário interpretativo curto: a compressão máxima cresce com v_0 e depende da combinação de massas m e M e da constante da mola k. Está tudo bem explícito e sem assumir números.

Passo 5

Caso em que os blocos permanecem juntos após a colisão (colisão perfeitamente inelástica): cálculo da máxima compressão x'_{\max}.
  • Física e hipóteses:
    • Colisão inelástica perfeita: ao colidirem os blocos “grudam” e passam a mover-se juntos imediatamente com velocidade V'.
    • O momento linear se conserva durante a colisão (porque não há força externa horizontal significativa).
    • A partir do instante imediatamente após a colisão (quando já estão juntos), toda a energia cinética do conjunto será convertida em energia elástica da mola até a máxima compressão (assumindo mola ideal e ausência de dissipação nesse processo).
  • Determinar V' por conservação do momento:
m\,v_0=(m+M)\,V' \quad\Rightarrow\quad V'=\frac{m\,v_0}{m+M}.
Observação: curiosamente V'=V obtido no caso elástico — a velocidade do centro de massa é a mesma (momento inicial único determina).
  • Energia disponível para comprimir a mola:
    • Imediatamente após a colisão inelástica, a energia cinética do conjunto é
    \tfrac{1}{2}(m+M)V'^2 = \tfrac{1}{2}(m+M)\left(\frac{m\,v_0}{m+M}\right)^2 = \tfrac{1}{2}\frac{m^2 v_0^2}{m+M}.
    • Essa energia cinética será totalmente convertida em energia elástica da mola no ponto de máxima compressão:
    \tfrac{1}{2}k {x'_{\max}}^2 = \tfrac{1}{2}\frac{m^2 v_0^2}{m+M}.
  • Resolver para x'_{\max}:
{x'_{\max}}^2 = \frac{m^2 v_0^2}{k(m+M)} \quad\Rightarrow\quad x'_{\max} = v_0\frac{m}{\sqrt{k(m+M)}}.

Passo 6

Razão entre as compressões dos itens (c): x'_{\max} (inelástico) sobre x_{\max} (elástico).
  • Temos:
x_{\max} = v_0\sqrt{\frac{mM}{k(m+M)}}, \qquad x'_{\max} = v_0\frac{m}{\sqrt{k(m+M)}}.
  • Calculo da razão:
\frac{x'_{\max}}{x_{\max}} = \frac{v_0\frac{m}{\sqrt{k(m+M)}}} {v_0\sqrt{\frac{mM}{k(m+M)}}} = \frac{m}{\sqrt{mM}} = \sqrt{\frac{m}{M}}.
  • Interpretação curta e incentivo: portanto a razão é \sqrt{m/M}. Note que se m<M a compressão na colisão inelástica será menor que na elástica; se m>M será maior — isso faz sentido porque, no caso elástico, parte da energia fica como energia relativa entre massas e pode transferir mais energia para a mola dependendo das massas; no caso inelástico, parte da energia é dissipada na colisão, mudando quanto chega à mola. Está tudo certo — respira, você já entendeu o raciocínio usado em muitos exercícios parecidos!

Resposta

(a) v_{\mathrm{cm}}(t)=\frac{m\,v_m(t)+M\,v_M(t)}{m+M},
em particular, se v_M=0 e v_m(0)=v_0 então v_{\mathrm{cm}}=\frac{m\,v_0}{m+M}.
(b) x_{\max}=v_0\sqrt{\frac{mM}{k(m+M)}}.
(c) \frac{x'_{\max}}{x_{\max}}=\sqrt{\frac{m}{M}}.

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