(a) Escreva a velocidade do centro de massa do sistema antes da colisão, em função do tempo e das variáveis do problema.
(b) Considerando que a colisão seja perfeitamente elástica, qual seria a máxima compressão sofrida pela mola?
(c) Se o experimento é refeito de tal forma que os dois blocos permanecem juntos após a colisão, qual seria a razão entre a máxima compressão sofrida pela mola neste caso e no caso do item (b)?
(b) Considerando que a colisão seja perfeitamente elástica, qual seria a máxima compressão sofrida pela mola?
(c) Se o experimento é refeito de tal forma que os dois blocos permanecem juntos após a colisão, qual seria a razão entre a máxima compressão sofrida pela mola neste caso e no caso do item (b)?
Passo 1
Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações / variáveis que vamos usar (assumindo a configuração física padrão necessária para interpretar as perguntas).
-
Pedidos:
(a) escrever a velocidade do centro de massa do sistema antes da colisão, em função do tempo e das variáveis do problema;
(b) para colisão perfeitamente elástica, determinar a máxima compressão da mola;
(c) refazer o experimento supondo que os dois blocos ficam juntos (colisão perfeitamente inelástica) e obter a razão entre a máxima compressão da mola nesse caso e no item (b). -
Variáveis e convenções que vamos usar (são as usualmente implicadas neste tipo de problema):
-
: massa do bloco que vem em movimento (o projétil). -
: massa do bloco alvo (pode estar ligado à mola ou empurrar a mola). -
: constante elástica da mola (assumimos mola ideal). -
: velocidade do bloco de massa antes da colisão (função do tempo, se houver). -
: velocidade do bloco de massa antes da colisão (função do tempo). - Quando conveniente, uso
para denotar a velocidade inicial do bloco imediatamente antes da colisão, e normalmente tomo antes da colisão (alvo em repouso) quando isso for o caso. - A superfície é sem atrito e não há forças externas horizontais significativas durante o intervalo de interesse (logo o momento linear total se conserva).
- A mola está inicialmente sem compressão e fixa ao outro lado (ou presa ao bloco
de forma que a compressão ocorre quando os blocos interagem). Essas são as hipóteses padrão para poder calcular compressões.
-
Não resolvo nada neste passo; apenas listei o que o problema pede e as variáveis que usarei.
Passo 2
Definição e fórmula geral da velocidade do centro de massa (aula rápida, bem mastigada).
- Definição: a velocidade do centro de massa de um sistema de duas partículas é a razão entre o momento linear total do sistema e a massa total. Em palavras: soma das massas vezes suas velocidades dividido pela massa total.
- Fórmula geral (sempre em TeX):
Aqui:
-
é a velocidade do centro de massa no instante . -
e são as velocidades instantâneas das massas e . -
é a constante massa total. -
Observação física importante (por que isso é útil):
Se não há forças externas resultantes atuando no sistema na direção do movimento (hipótese padrão), o momento linear total do sistema é conservado. Isso implica queé constante no tempo antes, durante e depois da colisão (enquanto não atuar força externa significativa). Então, na prática, antes da colisão podemos usar os valores iniciais das velocidades para obter . -
Caso frequentemente usado (bloco
vem com velocidade e está em repouso antes da colisão):
Expliquei de onde vem cada termo:
é o momento inicial do bloco que se move;
é o momento do bloco em repouso.
Passo 3
Estratégia física para achar a compressão máxima da mola no caso de colisão perfeitamente elástica — princípios e condições no ponto de máxima compressão.
-
Ideia física: quando o bloco
atinge o bloco e comprimem a mola, a energia cinética inicial do sistema é parcialmente armazenada como energia potencial da mola. No instante de máxima compressão da mola: - as duas massas têm a mesma velocidade (ou seja, a velocidade relativa entre elas é zero) — esse é um fato chave usado com frequência: máxima compressão ocorre quando não há velocidade relativa para continuar reduzindo a distância instantaneamente; a mola está no extremo da oscilação relativa.
- Para colisão perfeitamente elástica entre massas com mola intermediária, o momento linear total do sistema é conservado.
- A energia mecânica total do sistema (energia cinética + energia elástica da mola) também é conservada, porque não há perdas dissipativas (assumimos colisão/contato elástico e mola ideal).
-
Tradução matemática dessas ideias:
- Conservação do momento linear (horizontal):
ondeé a velocidade comum das massas no instante de máxima compressão (igual à velocidade do centro de massa). - Conservação da energia mecânica entre o instante inicial (mola não comprimida) e o instante de máxima compressão:
Explicando cada termo:-
é a energia cinética inicial (assume-se em repouso inicialmente). -
é a energia cinética da massa combinada no momento de máxima compressão (as duas se movem juntas com velocidade ). -
é a energia potencial armazenada na mola na compressão máxima .
Passo 4
Cálculo explícito de
(colisão perfeitamente elástica) — passo a passo algébrico sem pular etapas.
- Primeiro, obtenha
da conservação do momento:
Expliquei: isolando
em
.
- Substitua
na equação de conservação de energia:
Agora desenvolvo o primeiro termo do lado direito:
- Reescrevendo a equação de energia e isolando
:
- Coloco em evidência
:
- Simplifico a expressão dentro dos parênteses:
- Logo:
- Cancelo o fator
e resolvo para :
- Comentário interpretativo curto: a compressão máxima cresce com
e depende da combinação de massas e e da constante da mola . Está tudo bem explícito e sem assumir números.
Passo 5
Caso em que os blocos permanecem juntos após a colisão (colisão perfeitamente inelástica): cálculo da máxima compressão
.
-
Física e hipóteses:
- Colisão inelástica perfeita: ao colidirem os blocos “grudam” e passam a mover-se juntos imediatamente com velocidade
. - O momento linear se conserva durante a colisão (porque não há força externa horizontal significativa).
- A partir do instante imediatamente após a colisão (quando já estão juntos), toda a energia cinética do conjunto será convertida em energia elástica da mola até a máxima compressão (assumindo mola ideal e ausência de dissipação nesse processo).
- Colisão inelástica perfeita: ao colidirem os blocos “grudam” e passam a mover-se juntos imediatamente com velocidade
-
Determinar
por conservação do momento:
Observação: curiosamente
obtido no caso elástico — a velocidade do centro de massa é a mesma (momento inicial único determina).
-
Energia disponível para comprimir a mola:
- Imediatamente após a colisão inelástica, a energia cinética do conjunto é
- Essa energia cinética será totalmente convertida em energia elástica da mola no ponto de máxima compressão:
-
Resolver para
:
Passo 6
Razão entre as compressões dos itens (c):
(inelástico) sobre
(elástico).
- Temos:
- Calculo da razão:
- Interpretação curta e incentivo: portanto a razão é
. Note que se a compressão na colisão inelástica será menor que na elástica; se será maior — isso faz sentido porque, no caso elástico, parte da energia fica como energia relativa entre massas e pode transferir mais energia para a mola dependendo das massas; no caso inelástico, parte da energia é dissipada na colisão, mudando quanto chega à mola. Está tudo certo — respira, você já entendeu o raciocínio usado em muitos exercícios parecidos!
Resposta
(a)
em particular, se
e
então
(b)
(c)