Uma barra vertical de massa m e comprimento L está articulada em uma extremidade. Uma mola, cuja constante de força é K, está conectada a prancha no ponto P, a 1 / 4 de L da extremidade articulada. Despreze os efeitos da gravidade.
a) (0,5) Encontre o torque restaurador.
b) (1,5) Prove que o sistema apresenta MHS e calcule a frequência de oscilação.
c) (0,5) Avalie a frequência ( f ) se a massa for 5,0 kg, a mola tiver constante de força de 1 0 0 N / m e se L=1,00 m.

Passo 1

O exercício diz que temos uma barra de massa m e comprimento L, presa por uma dobradiça em uma das pontas. Uma mola de constante K está ligada à barra num ponto P que fica a tfrac14L da dobradiça. Desprezamos a gravidade, então a única força que gera um torque restaurador é a mola.
Conteúdo: torque de uma mola, momento de inércia de uma barra em torno de um eixo, e movimento harmônico simples (MHS) de rotações. Vamos precisar de:
  • Como calcular a força da mola para pequenos ângulos;
  • Como transformar essa força num torque;
  • Momento de inércia de uma barra (eixo na extremidade);
  • Equação de MHS rotacional e frequência angular.

Passo 2

Quando a barra gira um ângulo pequeno theta, o ponto P desloca-se horizontalmente de
x approx l(tfracL4r),theta
A mola estica (ou comprime) essa mesma quantidade x, gerando uma força
F = -K,x = -Kl(tfracL4r)theta
Para achar o torque dessa força em relação à dobradiça, note que a linha de ação de F é praticamente perpendicular à barra, e o braço de alavanca é a própria distância tfracL4. Então
tau = -F;times!tfracL4 = -l[-KtfracL4,thetar];tfracL4 = -,K,L^216;theta
Esse é o torque restaurador (negativo indica que sempre tende a trazer thetato0).

Passo 3

Para ver que é MHS, usamos a equação de movimento rotacional:
I,ddottheta = tau
O momento de inércia I de uma barra de comprimento L girando na extremidade é
I = m,L^23
Substituindo tau = -tfracK L^216theta:
mL^23,ddottheta = -K,L^216,theta ;;Longrightarrow;; ddottheta + 3K16,m,theta = 0
Isso é a equação padrão de MHS ( ddottheta + omega^2theta=0), com
omega^2 = 3K16,m, omega = raiz3K16,m
A frequência (em Hz) é
f = omega2pi = 12piraiz3K16,m

Passo 4

Agora, para m=5,0;kg, K=100;N/m e L=1,00;m:
omega = raiz3cdot10016cdot5 = raiz30080 = raiz3,75 approx1,936;rad/s,
f = 1,9362pi approx0,308;Hz

Resposta

a) tau = -,K,L^216,theta
b) O sistema obedece ddottheta + tfrac3K16m,theta=0, logo é MHS com
omega = raiztfrac3K16m e
f = tfrac12piraiztfrac3K16m.
c) Numericamente, f approx 0,31;Hz

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