Uma barra vertical de massa
e comprimento
está articulada em uma extremidade. Uma mola, cuja constante de força é
, está conectada a prancha no ponto
, a
de
da extremidade articulada. Despreze os efeitos da gravidade.
a)
Encontre o torque restaurador.
b)
Prove que o sistema apresenta MHS e calcule a frequência de oscilação.
c)
Avalie a frequência (
) se a massa for
, a mola tiver constante de força de
e se
.
a)
b)
c)
Passo 1
O exercício diz que temos uma barra de massa
e comprimento
, presa por uma dobradiça em uma das pontas. Uma mola de constante
está ligada à barra num ponto
que fica a
da dobradiça. Desprezamos a gravidade, então a única força que gera um torque restaurador é a mola.
Conteúdo: torque de uma mola, momento de inércia de uma barra em torno de um eixo, e movimento harmônico simples (MHS) de rotações. Vamos precisar de:
Conteúdo: torque de uma mola, momento de inércia de uma barra em torno de um eixo, e movimento harmônico simples (MHS) de rotações. Vamos precisar de:
- Como calcular a força da mola para pequenos ângulos;
- Como transformar essa força num torque;
- Momento de inércia de uma barra (eixo na extremidade);
- Equação de MHS rotacional e frequência angular.
Passo 2
Quando a barra gira um ângulo pequeno
, o ponto
desloca-se horizontalmente de
A mola estica (ou comprime) essa mesma quantidade
, gerando uma força
Para achar o torque dessa força em relação à dobradiça, note que a linha de ação de
é praticamente perpendicular à barra, e o braço de alavanca é a própria distância
. Então
Esse é o torque restaurador (negativo indica que sempre tende a trazer
).
Passo 3
Para ver que é MHS, usamos a equação de movimento rotacional:
O momento de inércia
de uma barra de comprimento
girando na extremidade é
Substituindo
:
Isso é a equação padrão de MHS (
), com
A frequência (em Hz) é
Passo 4
Agora, para
,
e
:
Resposta
a)
b) O sistema obedece , logo é MHS com
e
.
c) Numericamente,
b) O sistema obedece
c) Numericamente,