Em uma barragem de usina hidrelétrica, água cai de uma altura de 25,0 \mathrm{~m}, com uma vazão de 3,0 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} (Dado: massa específica, ou densidade, da água: 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) para acionar uma turbina geradora de energia elétrica.
Considerando-se que durante a queda há dissipação de 15 \% da energia, determinar:
A) a energia cinética que a água torna disponível para a turbina em cada intervalo de tempo de 1,0 \mathrm{~s}.
B) A potência disponível para a turbina.
C) A velocidade da água ao atingir a turbina.

Passo 1

O enunciado diz que água de densidade \rho=1000\;\mathrm{kg/m^3} cai de uma altura h=25,0\;\mathrm{m} com vazão Q=3,0\;\mathrm{m^3/s}, e que 15\% da energia é dissipada. Precisamos calcular a energia cinética disponível por segundo (e em 1{,}0\;\mathrm{s}), a potência correspondente e a velocidade de chegada. Usaremos:
– vazão mássica \dot m=\rho\,Q,
– energia potencial por segundo \dot E_{\text{pot}}=\dot m\,g\,h,
– eficiência \eta=1-0,15=0,85,
– conversão em energia cinética \dot E_{\text{kin}}=\eta\,\dot E_{\text{pot}},
– e E_{\text{kin}}=\tfrac12\,m\,v^2.

Passo 2

Calcular a vazão mássica:
\dot m = \rho \, Q = 1000\;\mathrm{kg/m^3}\times 3,0\;\mathrm{m^3/s} = 3000\;\mathrm{kg/s}.

Passo 3

Calcular a energia potencial por segundo e a parte aproveitável:
\dot E_{\text{pot}} = \dot m\,g\,h = 3000\cdot 9,8\;\mathrm{m/s^2}\cdot25,0\;\mathrm{m} = 735000\;\mathrm{J/s},
\dot E_{\text{kin}} = \eta\,\dot E_{\text{pot}} = 0,85 \times 735000 = 624750\;\mathrm{J/s}.

Passo 4

(A) Energia cinética em 1{,}0\;\mathrm{s}:
E_{\text{kin,1s}} = \dot E_{\text{kin}}\times 1{,}0\;\mathrm{s} = 624750\;\mathrm{J}.

Passo 5

(B) A potência disponível para a turbina é
P = \dot E_{\text{kin}} = 624750\;\mathrm{W}.

Passo 6

(C) Velocidade ao atingir a turbina. Primeiro energia cinética por kg de água:
\frac{E_{\text{kin por s}}}{\dot m} = \frac{624750}{3000} = 208,25\;\mathrm{J/kg}.
Como \tfrac12 v^2 = 208,25\;\mathrm{J/kg},
v = \sqrt{2 \times 208,25} = \sqrt{416,5} \approx 20,4\;\mathrm{m/s}.

Resposta

A) \,624750\;\mathrm{J}
B) \,624750\;\mathrm{W}
C) \,20,4\;\mathrm{m/s}

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