a) Calcule a velocidade angular média de cada um dos três ponteiros do relógio. b) Qual é a hora entre 6 h e 7 h em que o ponteiro dos minutos de um relógio coincide com o das horas?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a velocidade angular média de cada um dos três ponteiros do relógio (horas, minutos e segundos). O conteúdo é cinemática angular em movimento circular uniforme, onde \omega = \Delta\theta/\Delta t.
  2. Determinar, entre 6 h e 7 h, o instante em que o ponteiro dos minutos coincide com o das horas. Aqui usamos posição angular em função do tempo e comparamos os dois ponteiros.

Passo 2

Para o ponteiro de segundos:
Ele faz uma volta completa ( 2\pi rad) em 60 s. Logo
\omega_{\rm s}=\frac{2\pi}{60}=\frac{\pi}{30}\,\mathrm{rad/s}.

Passo 3

Para o ponteiro de minutos:
Ele faz uma volta completa ( 2\pi rad) em 60 min (=3600 s). Portanto
\omega_{\rm m}=\frac{2\pi}{3600}=\frac{\pi}{1800}\,\mathrm{rad/s}.

Passo 4

Para o ponteiro de horas:
Ele faz uma volta completa ( 2\pi rad) em 12 h (=43200 s). Então
\omega_{\rm h}=\frac{2\pi}{43200}=\frac{\pi}{21600}\,\mathrm{rad/s}.

Passo 5

Agora achamos o instante entre 6 h e 7 h em que o ponteiro dos minutos alcança o das horas.
Em graus por minuto:
– Ângulo do minuto após t minutos de 6 h: \theta_{\rm m}=6t (°).
– Ângulo do hora em 6 h era 6\times30=180° e avança a 0,5°/min, ou seja \theta_{\rm h}=180+0,5t.
Coincidência:
6t = 180 + 0,5t \quad\Longrightarrow\quad 5,5t = 180 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{180}{5,5} = 32,\!727272\ldots\\ \mathrm{min}.
Isso é 32 min mais 0,727272\times60\approx43,636 s.

Resposta

a) \displaystyle \omega_{\rm s}=\frac{\pi}{30}\,\mathrm{rad/s},\quad \omega_{\rm m}=\frac{\pi}{1800}\,\mathrm{rad/s},\quad \omega_{\rm h}=\frac{\pi}{21600}\,\mathrm{rad/s}.
b) A coincidência ocorre às 6\mathrm{h}\,32\mathrm{min}\,43{,}64\mathrm{s} (aprox.).

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