O que é uma base?

Passo 1

O enunciado pede para definir o conceito de base em álgebra linear. Para isso, vamos usar os conceitos de espaço vetorial, combinação linear, geração de um espaço e independência linear.

Passo 2

Um espaço vetorial V sobre um corpo K é um conjunto cujos elementos (vetores) podem ser somados e multiplicados por escalares de K, obedecendo axiomas como comutatividade, existência de elemento neutro e distributividade.

Passo 3

Dado um subconjunto S = v1,v2,dots,vmsubset V, chamamos de combinação linear de S qualquer vetor da forma
a1,v1 + a2,v2 + cdots + am,vm,
com aiin K. O subespaço gerado por S, denotado lang<= Srang<=, é o conjunto de todas as combinações lineares de S. Dizemos que S gera V se lang<= Srang<= = V.

Passo 4

O conjunto S é linearmente independente se a única solução do sistema
a1,v1 + a2,v2 + cdots + am,vm = 0
é a1 = a2 = cdots = am = 0. Caso contrário, S é linearmente dependente.

Passo 5

Uma base de V é um conjunto Bsubset V que satisfaz simultaneamente:
  1. B gera V, isto é, lang<= Brang<= = V.
  2. B é linearmente independente.
Em outras palavras, uma base é o “menor” conjunto que gera todo o espaço sem ter vetores redundantes.

Passo 6

Em geral, todas as bases de um mesmo espaço vetorial V têm o mesmo número de elementos, e esse número chama-se dimensão de V.
Por exemplo, no espaço R^3 a base canônica é
B = (1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1),
pois gera R^3 e é linearmente independente.

Resposta

Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto Bsubset V que gera V (todo vetor de V é combinação linear de elementos de B) e é linearmente independente (não há relação de dependência não trivial entre os vetores de B).

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