O que é uma base?
Passo 1
O enunciado pede para definir o conceito de base em álgebra linear. Para isso, vamos usar os conceitos de espaço vetorial, combinação linear, geração de um espaço e independência linear.
Passo 2
Um espaço vetorial
sobre um corpo
é um conjunto cujos elementos (vetores) podem ser somados e multiplicados por escalares de
, obedecendo axiomas como comutatividade, existência de elemento neutro e distributividade.
Passo 3
Dado um subconjunto
, chamamos de combinação linear de
qualquer vetor da forma
com
. O subespaço gerado por
, denotado
, é o conjunto de todas as combinações lineares de
. Dizemos que
gera
se
.
Passo 4
O conjunto
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. Caso contrário,
é linearmente dependente.
Passo 5
Uma base de
é um conjunto
que satisfaz simultaneamente:
-
gera , isto é, . -
é linearmente independente.
Em outras palavras, uma base é o “menor” conjunto que gera todo o espaço sem ter vetores redundantes.
Passo 6
Em geral, todas as bases de um mesmo espaço vetorial
têm o mesmo número de elementos, e esse número chama-se dimensão de
.
Por exemplo, no espaço a base canônica é
Por exemplo, no espaço
pois gera
e é linearmente independente.
Resposta
Uma base de um espaço vetorial
é um conjunto
que gera
(todo vetor de
é combinação linear de elementos de
) e é linearmente independente (não há relação de dependência não trivial entre os vetores de
).