Seja T: V (W,<,>) uma aplicação linear injetora. Mostre que:
Seja U um espaço vetorial com produto interno <,> e seja S um subespaço de U. É possível definir um produto interno em S ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas:
1. Uma aplicação linear injetora T:Vto W, onde W é espaço com produto interno <,,,>.
2. Um espaço vetorial U com produto interno <,,,> e um subespaço Ssubseteq U.
O que vamos usar: dado qualquer morfismo linear injetor de um espaço X num espaço com produto interno, podemos “puxar” esse produto para X. Em particular, para S usamos a inclusão i:Shookrightarrow U.

Passo 2

Definimos em V o candidato a produto interno puxado por T: para todo u,vin V
(u,v)V ;:=; llang<= T(u),,T(v)rrang<=,
Vamos verificar que (cdot,cdot)V satisfaz os axiomas de produto interno.

Passo 3

Linearidade e simetria conjugada: para quaisquer u,v,win V e escalar alpha vale
(alpha,u+v,w)V =llang<= T(alpha,u+v),T(w)rrang<= =alpha,llang<= T(u),T(w)rrang<=+llang<= T(v),T(w)rrang<= =alpha,(u,w)V+(v,w)V
e
(u,v)V =llang<= T(u),T(v)rrang<= =llang<= T(v),T(u)rrang<= =(v,u)V,

Passo 4

Positividade estrita: para uin V
(u,u)V =llang<= T(u),T(u)rrang<=>=0 e, se (u,u)V=0 então T(u)=0 oversetT injetoraimpliesu=0 ã

Passo 5

Concluímos que (cdot,cdot)V é de fato um produto interno em V.

Passo 6

Agora tomamos X=S e T=i, a aplicação inclusão i:Shookrightarrow U. Como i é linear injetora e U já tem produto interno <,,,>U, definimos para x,yin S
lang<= x,yrang<=S :=llang<= i(x),,i(y)rrang<=U =lang<= x,yrang<=U
Pelo passo anterior essa restrição herda todos os axiomas de produto interno.

Resposta

Sim. Basta definir em S
lang<= x,yrang<=S ;=;lang<= x,yrang<=U,
ou seja, restringir o produto interno de U a S.

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