Seja uma aplicação linear injetora. Mostre que:
Seja um espaço vetorial com produto interno e seja um subespaço de . É possível definir um produto interno em ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá duas coisas: . Uma aplicação linear injetora , onde é espaço com produto interno . . Um espaço vetorial com produto interno e um subespaço .
O que vamos usar: dado qualquer morfismo linear injetor de um espaço num espaço com produto interno, podemos “puxar” esse produto para . Em particular, para usamos a inclusão .
Passo 2
Definimos em o candidato a produto interno puxado por : para todo
Vamos verificar que satisfaz os axiomas de produto interno.
Passo 3
Linearidade e simetria conjugada: para quaisquer e escalar vale
e
Passo 4
Positividade estrita: para uin V
(u,u)V =llang<= T(u),T(u)rrang<=>=0 e, se (u,u)V=0 então T(u)=0 oversetT injetoraimpliesu=0 ã
Passo 5
Concluímos que (cdot,cdot)V é de fato um produto interno em V.
Passo 6
Agora tomamos X=S e T=i, a aplicação inclusão i:Shookrightarrow U. Como i é linear injetora e U já tem produto interno <,,,>U, definimos para x,yin S